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Compter avec les relations de récurrence: Fibonacci Séquence et Bit Strings

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Dans cours

CS-101: Advanced information, computation, communication I

Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics as diverse as mathematical reasoning, combinatorics, disc ...

Description

Cette séance de cours couvre la définition des relations de récurrence et leur application dans les problèmes de comptage, tels que la séquence de Fibonacci et les chaînes de bits sans 0 consécutifs. Il explore également le puzzle de la tour de Hanoi et les défis de compter les arrangements des parenthèses.

Enseignant·e

Karl Aberer

Co-Founder of LinkAlong Sarl, 2017.Vice-president EPFL for Information Systems, 2012 –2016.Director of the Swiss National Centre for Mobile Information and Communication Systems NCCR MICS (mics.ch), 2005 -2012.Member of the Swiss Research and Technology Council SWTR, consulting the Swiss Federal government, 2004 - 2011.

Source officielle

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Suite de Fibonacci

vignette|Une juxtaposition de carrés dont les côtés ont pour longueur des nombres successifs de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et 21. En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Notée , elle est définie par , et pour . Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci et forment la : vignette|Représentation géométrique de la fraction continue de φ faisant apparaître les nombres de la suite de Fibonacci.

Mot de Fibonacci

En mathématiques et plus précisément en combinatoire des mots, un mot de Fibonacci est une suite particulière de symboles pris dans un alphabet quelconque de deux lettres. Les mots de Fibonacci sont à l'opération de concaténation ce que les nombres de Fibonacci sont à l'addition. Le mot de Fibonacci infini est l'exemple paradigmatique de mot sturmien. Le nom « mot de Fibonacci » réfère aussi parfois aux éléments d'un langage formel composé des mots sur un alphabet de deux lettres et et ne contenant pas deux consécutifs.

Codage de Fibonacci

Le codage de Fibonacci est un codage entropique utilisé essentiellement en compression de données. Il utilise les nombres de la suite de Fibonacci, dont chaque terme est la somme des deux termes consécutifs précédents, ce qui lui confère une robustesse aux erreurs. Le code de Fibonacci produit est un code préfixe et universel. Dans ce code, on utilise la représentation de Zeckendorf, de telle façon que la séquence « 11 », interdite dans le nombre, apparaisse uniquement en fin de codage, et serve ainsi de délimiteur.

Généralisations de la suite de Fibonacci

En mathématiques, la suite de Fibonacci est définie par récurrence par : pour tout entier . Autrement dit, les deux valeurs de départ 0 et 1 étant données, chaque nombre est la somme des deux précédents. La suite de Fibonacci peut être généralisée de nombreuses façons ; par exemple, en partant d'autres nombres que 0 et 1, en ajoutant plus de deux termes pour générer le suivant, ou en ajoutant des objets autres que des nombres. À l'aide de la relation , on peut étendre la suite de Fibonacci à des indices entiers négatifs.

Polynôme de Fibonacci

En mathématiques les polynômes de Fibonacci, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, sont une suite de polynômes généralisant les nombres de Fibonacci, définis d'une manière telle que soit égal au n-ième nombre de la suite de Fibonacci. Les polynômes de Lucas généralisent de même les nombres de Lucas. Les polynômes de Fibonacci sont définis par une relation de récurrence linéaire. est un polynôme de degré n-1.

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