Bijection, injection and surjectionIn mathematics, injections, surjections, and bijections are classes of functions distinguished by the manner in which arguments (input expressions from the domain) and (output expressions from the codomain) are related or mapped to each other. A function maps elements from its domain to elements in its codomain. Given a function : The function is injective, or one-to-one, if each element of the codomain is mapped to by at most one element of the domain, or equivalently, if distinct elements of the domain map to distinct elements in the codomain.
Module injectifEn mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : X → Y entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : X → Q, il existe un morphisme h : Y → Q tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute : center Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.
Opération (mathématiques)En mathématiques, une opération est un processus visant à obtenir un résultat à partir d'un ou plusieurs objets appelés opérandes. L'écriture d'une opération implique en général l'utilisation d'un symbole spécifique appelé opérateur. En arithmétique, les quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division) sont suivies par le carré, le cube et plus généralement les opérations puissance, la racine carrée, l'exponentiation, la factorielle...
Ensembles disjointsvignette|Trois ensembles disjoints En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, et sont deux ensembles disjoints. De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si (Dans le cas contraire, on dit que A et B « se rencontrent ».) Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.
Family of setsIn set theory and related branches of mathematics, a collection of subsets of a given set is called a family of subsets of , or a family of sets over More generally, a collection of any sets whatsoever is called a family of sets, set family, or a set system. A family of sets may be defined as a function from a set , known as the index set, to , in which case the sets of the family are indexed by members of .
Injective hullIn mathematics, particularly in algebra, the injective hull (or injective envelope) of a module is both the smallest injective module containing it and the largest essential extension of it. Injective hulls were first described in . A module E is called the injective hull of a module M, if E is an essential extension of M, and E is injective. Here, the base ring is a ring with unity, though possibly non-commutative. An injective module is its own injective hull. The injective hull of an integral domain is its field of fractions .
Fonction (mathématiques)vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.
BijectionEn mathématiques, une bijection ou application bijective (parfois appelée correspondances biunivoques) est une application qui est à la fois injective et surjective, autrement dit pour laquelle tout élément de son ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent. Une propriété des bijections est que s'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il existe une bijection réciproque de F dans E qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. Les deux ensembles sont dits en bijection, ou équipotents.
Injective objectIn mathematics, especially in the field of , the concept of injective object is a generalization of the concept of injective module. This concept is important in cohomology, in homotopy theory and in the theory of . The dual notion is that of a projective object. An in a is said to be injective if for every monomorphism and every morphism there exists a morphism extending to , i.e. such that . That is, every morphism factors through every monomorphism . The morphism in the above definition is not required to be uniquely determined by and .
Catégorie cartésienneUne catégorie cartésienne est, en mathématiques — et plus précisément en théorie des catégories — une catégorie munie d'un objet terminal et du produit binaire. Dans une catégorie cartésienne, la notion de morphisme entre morphismes n'a pas encore de sens. C'est pourquoi l'on définit l'exponentiation, c'est-à-dire l'objet B qui représente l'« ensemble » des morphismes de A dans B. Munie de cette propriété de clôture qu'est l'exponentiation, une catégorie cartésienne devient une catégorie cartésienne fermée.
Catégorie des ensemblesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.
Produit directLa plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques. Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante : Si et sont associatives, alors la loi est associative.
Ensemble flouLa théorie des sous-ensembles flous est une théorie mathématique du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets et sert de fondement à la logique floue. Les sous-ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation.
Théorie des ensembles approximatifsThéorie des ensembles approximatifs – est un formalisme mathématique proposé en 1982 par le professeur Zdzisław Pawlak. Elle généralise la théorie des ensembles classique. Un ensemble approximatif (anglais : rough set) est un objet mathématique basé sur la logique 3 états. Dans sa première définition, un ensemble approximatif est une paire de deux ensembles : une approximation inférieure et une approximation supérieure. Il existe également un type d'ensembles approximatifs défini par une paire d'ensembles flous (anglais : fuzzy set).
HomomorphismIn algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).
Nom de domaineUn nom de domaine (NDD en notation abrégée française ou DN pour Domain Name en anglais) est, dans le système de noms de domaine DNS, un identifiant de domaine internet. Un domaine est un ensemble d'ordinateurs reliés à Internet et possédant une caractéristique commune. Par exemple, un domaine tel que .fr est l'ensemble des ordinateurs hébergeant des activités pour des personnes ou des organisations qui se sont enregistrées auprès de l'Association française pour le nommage Internet en coopération (AFNIC) qui est le registre responsable du domaine de premier niveau .
Image d'une applicationvignette| est une fonction de dans . L'ovale jaune dans est l'image de . On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l' par f de l'ensemble de départ A. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f). Exemple : Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée. Lemme des noyaux Catégorie abélienne Limite projective Noyau (algèbre) (autrement dit : d'une relation
Ensemble de définitionEn mathématiques, l'ensemble de définition (également appelé domaine de définition ou parfois ensemble de départ, voir la discussion plus bas) d'une application ou d'une fonction désigne informellement l'ensemble des entrées acceptées par elle. La terminologie entre ensemble de définition et ensemble de départ diffère si l'on fait la distinction entre la notion de fonction et d'application ou non.
Différence finieEn mathématiques, et plus précisément en analyse, une différence finie est une expression de la forme f(x + b) − f(x + a) (où f est une fonction numérique) ; la même expression divisée par b − a s'appelle un taux d'accroissement (ou taux de variation), et il est possible, plus généralement, de définir de même des différences divisées. L'approximation des dérivées par des différences finies joue un rôle central dans les méthodes des différences finies utilisées pour la résolution numérique des équations différentielles, tout particulièrement pour les problèmes de conditions aux limites.
Coordonnées cartésiennesUn système de coordonnées cartésiennes permet de déterminer la position d'un point dans un espace affine (droite, plan, espace de dimension 3, etc.) muni d'un repère cartésien. Le mot cartésien vient du mathématicien et philosophe français René Descartes. Il existe d'autres systèmes de coordonnées permettant de repérer un point dans le plan ou dans l'espace. Sur une droite affine , un repère est la donnée de : une origine , c'est-à-dire un point distingué de ; un vecteur de la droite vectorielle directrice .
