Forme modulaireEn mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.
Fonction elliptique de JacobiEn mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.
Exploration du système martienvignette|Le sol de Mars photographié par Viking 1 en 1975. vignette|Burns Cliff, affleurement rocheux à l'intérieur du cratère Endurance photographié par le rover MER Opportunity en 2004. vignette|Selfie de Curiosity pris en 2012dans le cratère Gale. L’exploration du système martien, qui comprend la planète Mars et ses deux satellites, tient une place particulièrement importante dans les programmes scientifiques d'exploration du Système solaire des principales puissances spatiales.
Mars roverA Mars rover is a motor vehicle designed to travel on the surface of Mars. Rovers have several advantages over stationary landers: they examine more territory, they can be directed to interesting features, they can place themselves in sunny positions to weather winter months, and they can advance the knowledge of how to perform very remote robotic vehicle control. They serve a different purpose than orbital spacecraft like Mars Reconnaissance Orbiter. A more recent development is the Mars helicopter.
Forme modulaire de HilbertEn mathématiques, une forme modulaire de Hilbert est une généralisation des formes modulaires aux fonctions de deux variables ou plus. C'est une fonction analytique sur le produit de m demi-plans supérieurs satisfaisant un certain type d'équation fonctionnelle. Soit F un corps totalement réel de degré m sur le corps des rationnels. Soit les plongements réels de F. On définit ainsi une application Soit l'anneau des entiers de F. Le groupe est appelé le groupe modulaire de Hilbert plein.
Siegel modular formIn mathematics, Siegel modular forms are a major type of automorphic form. These generalize conventional elliptic modular forms which are closely related to elliptic curves. The complex manifolds constructed in the theory of Siegel modular forms are Siegel modular varieties, which are basic models for what a moduli space for abelian varieties (with some extra level structure) should be and are constructed as quotients of the Siegel upper half-space rather than the upper half-plane by discrete groups.
Mars 2020 (mission spatiale)vignette|upright=1.4|Test de la phase de séparation de l'étage de descente (Sky Crane) et de l'astromobile Perseverance. est une mission spatiale qui consiste à déployer l'astromobile (rover) Perseverance sur le sol martien pour étudier sa surface et collecter des échantillons du sol. Cette mission d'exploration de la planète Mars est développée par le JPL, établissement de la NASA, l'agence spatiale américaine. Elle constitue la première d'une série de trois missions dont l'objectif final est de ramener ces échantillons sur Terre pour permettre leur analyse.
Vie sur MarsLa possibilité de vie sur la planète Mars est une hypothèse historique formulée en raison de la proximité et des similitudes entre cette planète et la Terre. Les premières investigations sérieuses à ce sujet datent du et se poursuivent aujourd'hui, notamment à l'aide des missions d'explorations in situ. Car, bien que les « Martiens » constituent un élément récurrent dans les divertissements populaires tels que le cinéma et la bande-dessinée, la présence de vie sur Mars, actuelle ou passée, reste une question ouverte.
Série de DirichletEn mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble C des nombres complexes, et associée à une suite (a) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : Ici, la suite (λ) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de C, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit C tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature.
Convolution de DirichletEn mathématiques, la convolution de Dirichlet, encore appelée produit de convolution de Dirichlet ou produit de Dirichlet est une loi de composition interne définie sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des fonctions définies sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans les nombres complexes. Cette loi de convolution est utilisée en arithmétique, aussi bien algébrique qu'analytique. On la trouve aussi pour résoudre des questions de dénombrement.
Courbe modulaireEn théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes Γ d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(Γ). On appelle Γ le niveau de la courbe Y(Γ). Depuis Gorō Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau Γ.
Groupe modulaireEn mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, Z), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, Z) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, Z) dans le groupe de Lie On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. Ce nom provient de l'action à gauche et fidèle de Γ(1) par homographies sur le demi-plan de Poincaré H des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Cette action n'est que la restriction de l'action de PGL(2, C) sur la droite projective complexe P(C) = C ∪ {∞} : la matrice agit sur P(C) par la transformation de Möbius qui en envoie z sur .
Fonction thêtaEn mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.
Fonction trigonométriquethumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.
Polynôme de LaguerreEn mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif. Les solutions L forment une suite de polynômes orthogonaux dans L (R, edx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale.
Caractère de DirichletEn mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes. Elle a été utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique. Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités (Z/nZ) de l'anneau Z/nZ. Dans le corps C des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté .
Fonction lemniscatiqueEn mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de Weierstrass dont les invariants sont g2 = 1 et g3 = 0.
Polynôme d'HermiteEn mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810, surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités puis en détail par Pafnouti Tchebychev six ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.
Mathématiquesthumb|upright|Raisonnement mathématique sur un tableau. Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Polynôme de Gegenbauerthumb|right|320px|Tracé du polynôme de Gegenbauer C(x) pour n=10 et m=1 sur le plan complexe entre -2-2i et 2+2i En mathématiques, les polynômes de Gegenbauer ou polynômes ultrasphériques sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont nommés ainsi en l'honneur de Leopold Gegenbauer (1849-1903). Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie : où est la factorielle décroissante.
