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Séance de cours

Caractéristiques Polynôme, EigenValeurs et Eigenvectors

Description

Cette séance de cours couvre le concept des polynômes caractéristiques, des valeurs propres et des vecteurs propres dans le contexte de la réduction matricielle. Il explique comment trouver le polynôme caractéristique d'une matrice, déterminer les valeurs propres, et les associer avec les eigenvectors. La séance de cours traite également du théorème Cayley-Hamilton et fournit des exemples pour illustrer les concepts de valeurs propres et de vecteurs propres.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (23)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Réduction de la dimensionnalité

vignette|320x320px|Animation présentant la projection de points en deux dimensions sur les axes obtenus par analyse en composantes principales, une méthode populaire de réduction de la dimensionnalité La réduction de la dimensionnalité (ou réduction de (la) dimension) est un processus étudié en mathématiques et en informatique, qui consiste à prendre des données dans un espace de grande dimension, et à les remplacer par des données dans un espace de plus petite dimension.

Matrix decomposition

In the mathematical discipline of linear algebra, a matrix decomposition or matrix factorization is a factorization of a matrix into a product of matrices. There are many different matrix decompositions; each finds use among a particular class of problems. In numerical analysis, different decompositions are used to implement efficient matrix algorithms. For instance, when solving a system of linear equations , the matrix A can be decomposed via the LU decomposition.

Generalized eigenvector

In linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.

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Séances de cours associées (51)

Valeurs propres et vecteurs propres en 3D

Explore les valeurs propres et les vecteurs propres dans l'algèbre linéaire 3D, couvrant les polynômes caractéristiques, la stabilité sous les transformations, et les racines réelles.

Diagonalisation des transformations linéaires

Explique la diagonalisation des transformations linéaires en utilisant des vecteurs propres et des valeurs propres pour former une matrice diagonale.

Calcul de valeurs propres

Couvre le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres, en mettant l'accent sur leur importance et leurs applications.

Modes et stabilité des systèmes LTI

Explore l'analyse des états et des modes libres dans les systèmes de contrôle multivariables, en mettant l'accent sur les propriétés de stabilité et les exemples pratiques.

Valeurs propres et polynôme minimal

Explore les valeurs propres et le polynôme minimal, soulignant leur importance dans l'algèbre linéaire.

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Concepts associés (23)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Décomposition d'une matrice en éléments propres

Réduction de la dimensionnalité

Matrix decomposition

Generalized eigenvector

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