Matrice triangulairevignette|algèbre linéaire En algèbre linéaire, une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls d’un côté ou de l’autre de la diagonale principale. C’est en particulier le cas si la matrice est diagonale. Une matrice est triangulaire stricte si elle est triangulaire et que tous ses coefficients diagonaux sont nuls. Dans ce qui suit, on considérera un anneau unitaire R non forcément commutatif, des R-modules à gauche et des R-modules à droite.
Matrix decompositionIn the mathematical discipline of linear algebra, a matrix decomposition or matrix factorization is a factorization of a matrix into a product of matrices. There are many different matrix decompositions; each finds use among a particular class of problems. In numerical analysis, different decompositions are used to implement efficient matrix algorithms. For instance, when solving a system of linear equations , the matrix A can be decomposed via the LU decomposition.
Factorisation de CholeskyLa factorisation de Cholesky, nommée d'après André-Louis Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive , à déterminer une matrice triangulaire inférieure telle que : . La matrice est en quelque sorte une « racine carrée » de . Cette décomposition permet notamment de calculer la matrice inverse , de calculer le déterminant de A (égal au carré du produit des éléments diagonaux de ) ou encore de simuler une loi multinormale. Elle est aussi utilisée en chimie quantique pour accélérer les calculs (voir Décomposition de Cholesky (chimie quantique)).
Matrice par blocsvignette|Un matrice présente une structure par blocs si l'on peut isoler les termes non nuls dans des sous-matrices (ici la structure « diagonale par blocs » d'une réduite de Jordan). On appelle matrice par blocs une matrice divisée en blocs à partir d'un groupement quelconque de termes contigus de sa diagonale. Chaque bloc étant indexé comme on indicerait les éléments d'une matrice, la somme et le produit de deux matrices partitionnées suivant les mêmes tailles de bloc, s'obtiennent avec les mêmes règles formelles que celles des composantes (mais en veillant à l'ordre des facteurs dans les produits matriciels!).
Square matrixIn mathematics, a square matrix is a matrix with the same number of rows and columns. An n-by-n matrix is known as a square matrix of order . Any two square matrices of the same order can be added and multiplied. Square matrices are often used to represent simple linear transformations, such as shearing or rotation. For example, if is a square matrix representing a rotation (rotation matrix) and is a column vector describing the position of a point in space, the product yields another column vector describing the position of that point after that rotation.
Théorie de l'éliminationEn algèbre commutative et en géométrie algébrique, la théorie de l'élimination traite de l'approche algorithmique de l'élimination de variables entre polynômes. Le cas linéaire est maintenant couramment traité par élimination de Gauss, plus efficace que la méthode de Cramer. De même, des algorithmes d'élimination s'appuient sur des calculs de bases de Gröbner, alors qu'il existe des publications anciennes sur divers types d'« éliminants », comme le résultant pour trouver les racines communes à deux polynômes, le discriminant, etc.
Definite matrixIn mathematics, a symmetric matrix with real entries is positive-definite if the real number is positive for every nonzero real column vector where is the transpose of . More generally, a Hermitian matrix (that is, a complex matrix equal to its conjugate transpose) is positive-definite if the real number is positive for every nonzero complex column vector where denotes the conjugate transpose of Positive semi-definite matrices are defined similarly, except that the scalars and are required to be positive or zero (that is, nonnegative).
Matrice de ToeplitzEn algèbre linéaire, une matrice de Toeplitz (d'après Otto Toeplitz) ou matrice à diagonales constantes est une matrice dont les coefficients sur une diagonale descendant de gauche à droite sont les mêmes. Par exemple, la matrice suivante est une matrice de Toeplitz : Toute matrice A à n lignes et n colonnes de la forme est une matrice de Toeplitz. Si l'élément situé à l’intersection des ligne i et colonne j de A est noté Ai,j, alors on a : En général, une équation matricielle correspond à un système de n équations linéaires à résoudre.
Système d'équations linéairesEn mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple : Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément. La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en analyse numérique.
Gaussian eliminationIn mathematics, Gaussian elimination, also known as row reduction, is an algorithm for solving systems of linear equations. It consists of a sequence of operations performed on the corresponding matrix of coefficients. This method can also be used to compute the rank of a matrix, the determinant of a square matrix, and the inverse of an invertible matrix. The method is named after Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
Python (langage)Python (prononcé ) est un langage de programmation interprété, multiparadigme et multiplateformes. Il favorise la programmation impérative structurée, fonctionnelle et orientée objet. Il est doté d'un typage dynamique fort, d'une gestion automatique de la mémoire par ramasse-miettes et d'un système de gestion d'exceptions ; il est ainsi similaire à Perl, Ruby, Scheme, Smalltalk et Tcl.
Matrice de permutationUne matrice de permutation est une matrice carrée qui vérifie les propriétés suivantes : les coefficients sont 0 ou 1 ; il y a un et un seul 1 par ligne ; il y a un et un seul 1 par colonne. Ainsi : est une matrice de permutation. Les matrices de permutations carrées de taille n sont en bijection avec les permutations de l'ensemble {1,2,...n}. Si σ est une telle permutation, la matrice correspondante est de terme général Cette bijection est un morphisme de groupes : En utilisant cette identité avec deux permutations inverses l'une de l'autre, on obtient le fait qu'une matrice de permutation est inversible, et que son inverse est la matrice de la permutation inverse.
Pivot elementThe pivot or pivot element is the element of a matrix, or an array, which is selected first by an algorithm (e.g. Gaussian elimination, simplex algorithm, etc.), to do certain calculations. In the case of matrix algorithms, a pivot entry is usually required to be at least distinct from zero, and often distant from it; in this case finding this element is called pivoting. Pivoting may be followed by an interchange of rows or columns to bring the pivot to a fixed position and allow the algorithm to proceed successfully, and possibly to reduce round-off error.
Python syntax and semanticsThe syntax of the Python programming language is the set of rules that defines how a Python program will be written and interpreted (by both the runtime system and by human readers). The Python language has many similarities to Perl, C, and Java. However, there are some definite differences between the languages. It supports multiple programming paradigms, including structured, object-oriented programming, and functional programming, and boasts a dynamic type system and automatic memory management.
Matrice orthogonaleUne matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si A A = I, où A est la matrice transposée de A et I est la matrice identité. Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ ou les matrices de permutation, comme Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A = A. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
History of PythonPython (programming language) The programming language Python was conceived in the late 1980s, and its implementation was started in December 1989 by Guido van Rossum at CWI in the Netherlands as a successor to ABC capable of exception handling and interfacing with the Amoeba operating system. Van Rossum is Python's principal author, and his continuing central role in deciding the direction of Python is reflected in the title given to him by the Python community, Benevolent Dictator for Life (BDFL).
PermutationEn mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation d'objets distincts rangés dans un certain ordre correspond à un changement de l'ordre de succession de ces objets. La permutation est une des notions fondamentales en combinatoire, c'est-à-dire pour des problèmes de dénombrement et de probabilités discrètes. Elle sert ainsi à définir et à étudier le carré magique, le carré latin, le sudoku, ou le Rubik's Cube.
Algèbre linéairevignette|R3 est un espace vectoriel de dimension 3. Droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d'équations linéaires. L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.
WxPythonwxPython est une implémentation libre en Python de l'interface de programmation wxWidgets. Cette bibliothèque Python est utilisée pour la création d'interfaces graphiques, et est l'alternative de Tkinter la plus utilisée. wxPython est multiplate-forme, et le même logiciel peut être exécuté sur Windows, UNIX et apparentés, et MacOS sans modification. Pour la création et gestion des widgets, l'interface de programmation du système d'exploitation hôte est utilisée le plus possible, ce qui donne une apparence native à l'application.
Matrix ringIn abstract algebra, a matrix ring is a set of matrices with entries in a ring R that form a ring under matrix addition and matrix multiplication . The set of all n × n matrices with entries in R is a matrix ring denoted Mn(R) (alternative notations: Matn(R) and Rn×n). Some sets of infinite matrices form infinite matrix rings. Any subring of a matrix ring is a matrix ring. Over a rng, one can form matrix rngs. When R is a commutative ring, the matrix ring Mn(R) is an associative algebra over R, and may be called a matrix algebra.
