Théorie des graphesvignette|Un tracé de graphe. La théorie des graphes est la discipline mathématique et informatique qui étudie les graphes, lesquels sont des modèles abstraits de dessins de réseaux reliant des objets. Ces modèles sont constitués par la donnée de sommets (aussi appelés nœuds ou points, en référence aux polyèdres), et d'arêtes (aussi appelées liens ou lignes) entre ces sommets ; ces arêtes sont parfois non symétriques (les graphes sont alors dits orientés) et sont alors appelées des flèches ou des arcs.
Lexique de la théorie des graphesNOTOC Acyclique graphe ne contenant pas de cycle. Adjacence une liste d'adjacence est une structure de données constituée d'un tableau dont le -ème élément correspond à la liste des voisins du -ème sommet. Adjacence une matrice d'adjacence est une matrice carrée usuellement notée , de dimensions , dont chaque élément est égal au nombre d'arêtes incidentes (ayant pour extrémités) aux sommets d'indices et (pour un graphe simple non pondéré, ). Dans le cas d'un graphe pondéré, chaque élément est égal à la somme du poids des arêtes incidentes.
Connectivity (graph theory)In mathematics and computer science, connectivity is one of the basic concepts of graph theory: it asks for the minimum number of elements (nodes or edges) that need to be removed to separate the remaining nodes into two or more isolated subgraphs. It is closely related to the theory of network flow problems. The connectivity of a graph is an important measure of its resilience as a network. In an undirected graph G, two vertices u and v are called connected if G contains a path from u to v.
Chaîne (théorie des graphes)Dans un graphe non orienté, une chaîne reliant à , notée , est définie par une suite finie d'arêtes consécutives, reliant à . La notion correspondante dans les graphes orientés est celle de chemin. Une chaîne élémentaire est une chaîne ne passant pas deux fois par un même sommet, c'est-à-dire dont tous les sommets sont distincts. Une chaîne simple est une chaîne ne passant pas deux fois par une même arête, c'est-à-dire dont toutes les arêtes sont distinctes. Un cycle est une chaîne simple dont les deux extrémités sont identiques.
Couplage (théorie des graphes)En théorie des graphes, un couplage ou appariement (en anglais matching) d'un graphe est un ensemble d'arêtes de ce graphe qui n'ont pas de sommets en commun. Soit un graphe simple non orienté G = (S, A) (où S est l'ensemble des sommets et A l'ensemble des arêtes, qui sont certaines paires de sommets), un couplage M est un ensemble d'arêtes deux à deux non adjacentes. C'est-à-dire que M est une partie de l'ensemble A des arêtes telle que Un couplage maximum est un couplage contenant le plus grand nombre possible d'arêtes.
Sommet (théorie des graphes)vignette|Dans ce graphe, les sommets 4 et 5 sont voisins alors que les sommets 3 et 5 sont indépendants. Le degré du sommet 4 est égal à 3. Le sommet 6 est une feuille. En théorie des graphes, un sommet, aussi appelé nœud et plus rarement point, est l'unité fondamentale d'un graphe. Deux sommets sont voisins s'ils sont reliés par une arête. Deux sommets sont indépendants s'ils ne sont pas voisins. alt=A small example network with 8 vertices and 10 edges.|vignette|Réseau de huit sommets (dont un isolé) et 10 arêtes.
Graphe (mathématiques discrètes)Dans le domaine des mathématiques discrètes, la théorie des graphes définit le graphe, une structure composée d'objets et de relations entre deux de ces objets. Abstraitement, lesdits objets sont appelés sommets (ou nœuds ou points), et les relations entre eux sont nommées arêtes (ou liens ou lignes). On distingue les graphes non orientés, où les arêtes relient deux sommets de manière symétrique, et les graphes orientés, où les arêtes, alors appelées arcs (ou flèches), relient deux sommets de manière asymétrique.
Degré (théorie des graphes)thumb|Un graphe non orienté où on a indiqué le degré de chaque sommet sur ce sommet. Dans ce graphe, le degré maximal est et le degré minimal est . En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, le degré (ou valence) d'un sommet d'un graphe est le nombre de liens (arêtes ou arcs) reliant ce sommet, avec les boucles comptées deux fois. Le degré d'un sommet est noté . Dans le cas d'un graphe orienté, on parle aussi du degré entrant d'un sommet , c'est-à-dire le nombre d'arcs dirigés vers le sommet , et du degré sortant de ce sommet , c'est-à-dire le nombre d'arcs sortant de .
Problème des mariages stablesvignette|Algorithme de Gale Shapley. En mathématiques, informatique et économie, le problème des mariages stables consiste à trouver, étant donné n hommes et n femmes, et leurs listes de préférences, une façon stable de les mettre en couple. Une situation est dite instable s'il y a au moins un homme et une femme qui préféreraient se mettre en couple plutôt que de rester avec leurs partenaires actuels (Dupont préfère à , et préfère Dupont à Durand). Ce problème a des applications en économie, en théorie des jeux et en physique statistique.
Component (graph theory)In graph theory, a component of an undirected graph is a connected subgraph that is not part of any larger connected subgraph. The components of any graph partition its vertices into disjoint sets, and are the induced subgraphs of those sets. A graph that is itself connected has exactly one component, consisting of the whole graph. Components are sometimes called connected components. The number of components in a given graph is an important graph invariant, and is closely related to invariants of matroids, topological spaces, and matrices.
Distance (théorie des graphes)En théorie des graphes, la distance entre deux nœuds d'un graphe est la longueur d'un plus court chemin entre ces deux nœuds. La longueur d'un chemin est sa longueur en nombre d'arêtes. Pour un graphe pondéré c'est la somme des poids des arêtes empruntées. Pour les graphes non orientés, c'est une distance au sens mathématique, tandis que pour les graphes orientés elle ne vérifie pas la propriété de symétrie. Cette notion permet entre autres de définir le diamètre et le rayon d'un graphe. Catégorie:Concept
Free entropyA thermodynamic free entropy is an entropic thermodynamic potential analogous to the free energy. Also known as a Massieu, Planck, or Massieu–Planck potentials (or functions), or (rarely) free information. In statistical mechanics, free entropies frequently appear as the logarithm of a partition function. The Onsager reciprocal relations in particular, are developed in terms of entropic potentials. In mathematics, free entropy means something quite different: it is a generalization of entropy defined in the subject of free probability.
Entropie (thermodynamique)L'entropie est une grandeur physique qui caractérise le degré de désorganisation d'un système. Introduite en 1865 par Rudolf Clausius, elle est nommée à partir du grec , littéralement « action de se retourner » pris au sens de « action de se transformer ». En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état extensive (c'est-à-dire, proportionnelle à la quantité de matière dans le système considéré). Elle est généralement notée , et dans le Système international d'unités elle s'exprime en joules par kelvin ().
Maximum cardinality matchingMaximum cardinality matching is a fundamental problem in graph theory. We are given a graph G, and the goal is to find a matching containing as many edges as possible; that is, a maximum cardinality subset of the edges such that each vertex is adjacent to at most one edge of the subset. As each edge will cover exactly two vertices, this problem is equivalent to the task of finding a matching that covers as many vertices as possible.
Maximum weight matchingIn computer science and graph theory, the maximum weight matching problem is the problem of finding, in a weighted graph, a matching in which the sum of weights is maximized. A special case of it is the assignment problem, in which the input is restricted to be a bipartite graph, and the matching constrained to be have cardinality that of the smaller of the two partitions. Another special case is the problem of finding a maximum cardinality matching on an unweighted graph: this corresponds to the case where all edge weights are the same.
Matching in hypergraphsIn graph theory, a matching in a hypergraph is a set of hyperedges, in which every two hyperedges are disjoint. It is an extension of the notion of matching in a graph. Recall that a hypergraph H is a pair (V, E), where V is a set of vertices and E is a set of subsets of V called hyperedges. Each hyperedge may contain one or more vertices. A matching in H is a subset M of E, such that every two hyperedges e_1 and e_2 in M have an empty intersection (have no vertex in common).
Entropy productionEntropy production (or generation) is the amount of entropy which is produced during heat process to evaluate the efficiency of the process. Entropy is produced in irreversible processes. The importance of avoiding irreversible processes (hence reducing the entropy production) was recognized as early as 1824 by Carnot. In 1865 Rudolf Clausius expanded his previous work from 1854 on the concept of "unkompensierte Verwandlungen" (uncompensated transformations), which, in our modern nomenclature, would be called the entropy production.
NéguentropieLa néguentropie est une « entropie négative », une variation générant une baisse du degré de désorganisation d'un système. Elle équivaut par conséquent à un facteur d'organisation des systèmes physiques, biologiques, écologiques et éventuellement sociaux et humains, qui s'oppose à la tendance naturelle à la désorganisation (entropie). Elle est une caractéristique essentielle des êtres vivants. Pour désigner la néguentropie, dans certains contextes, on emploie aussi parfois le nom de syntropie (nom proposé par Albert Szent-Györgyi).
Loi de probabilitéthumb|400px 3 répartitions.png En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable.
Entropy (statistical thermodynamics)The concept entropy was first developed by German physicist Rudolf Clausius in the mid-nineteenth century as a thermodynamic property that predicts that certain spontaneous processes are irreversible or impossible. In statistical mechanics, entropy is formulated as a statistical property using probability theory. The statistical entropy perspective was introduced in 1870 by Austrian physicist Ludwig Boltzmann, who established a new field of physics that provided the descriptive linkage between the macroscopic observation of nature and the microscopic view based on the rigorous treatment of large ensembles of microstates that constitute thermodynamic systems.
