Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Décomposition spectrale des opérateurs non liés

Description

Cette séance de cours couvre la décomposition spectrale des opérateurs non liés, la définition des opérateurs normaux et auto-adjoints dans le cas non lié, l'établissement de l'existence d'éléments uniques dans le domaine des opérateurs, et la preuve des propriétés de l'opérateur 1 + A*A. La séance de cours se termine par le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints non liés, présentant une famille de mesures de Borel et un opérateur unitaire U qui diagonalise l'opérateur A sur un domaine spécifique.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (32)

Endomorphisme autoadjoint

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.

Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie. Plus précisément, soient X, Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous-espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y. Considérons X = Y = L(R) et l'espace de Sobolev H(R) des fonctions de carré intégrable dont la dérivée au sens des distributions appartient, elle aussi, à L(R).

Théorème spectral

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).

Endomorphisme normal

Un endomorphisme normal est un opérateur d'un espace de Hilbert qui commute avec son adjoint. Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et u un endomorphisme de H, d'adjoint u*. On dit que u est normal si Les endomorphismes autoadjoints sont normaux (cas u* = u). Les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux (cas u* = –u). Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux (cas u* = u).

Opérateur adjoint

En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a. Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie.

Afficher plus

Séances de cours associées (51)

Opérateurs linéaires : Transformation de base et valeurs propres

Explore la transformation de base, les valeurs propres et les opérateurs linéaires dans les espaces intérieurs des produits, en soulignant leur importance dans la mécanique quantique.

Mécanique quantique : Postulats et observables

Explique les postulats de la mécanique quantique et la représentation des observables par les opérateurs.

Problème de valeur propre: Base propre, Théorème spectral

Explore les problèmes de valeurs propres, la base propre, le théorème spectral et les propriétés des opérateurs normaux.

Adjoint d'opérateurs linéaires sur les espaces de produits intérieurs

Explore l'adjoint des opérateurs linéaires sur les espaces de produits intérieurs, y compris les opérateurs auto-adjoints, unitaires et normaux.

Représentation matricielle des opérateurs et transformation de base

Explore la représentation matricielle des opérateurs et la transformation de base en algèbre linéaire.

Afficher plus

Concepts associés (32)

Endomorphisme autoadjoint