Séance de cours

Décomposition spectrale des opérateurs non liés

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Description

Cette séance de cours couvre la décomposition spectrale des opérateurs non liés, la définition des opérateurs normaux et auto-adjoints dans le cas non lié, l'établissement de l'existence d'éléments uniques dans le domaine des opérateurs, et la preuve des propriétés de l'opérateur 1 + A*A. La séance de cours se termine par le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints non liés, présentant une famille de mesures de Borel et un opérateur unitaire U qui diagonalise l'opérateur A sur un domaine spécifique.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (32)

Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie. Plus précisément, soient X, Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous-espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y. Considérons X = Y = L(R) et l'espace de Sobolev H(R) des fonctions de carré intégrable dont la dérivée au sens des distributions appartient, elle aussi, à L(R).

Endomorphisme autoadjoint

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.

Endomorphisme normal

Un endomorphisme normal est un opérateur d'un espace de Hilbert qui commute avec son adjoint. Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et u un endomorphisme de H, d'adjoint u*. On dit que u est normal si Les endomorphismes autoadjoints sont normaux (cas u* = u). Les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux (cas u* = –u). Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux (cas u* = u).

Théorème spectral

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).

Operator theory

In mathematics, operator theory is the study of linear operators on function spaces, beginning with differential operators and integral operators. The operators may be presented abstractly by their characteristics, such as bounded linear operators or closed operators, and consideration may be given to nonlinear operators. The study, which depends heavily on the topology of function spaces, is a branch of functional analysis. If a collection of operators forms an algebra over a field, then it is an operator algebra.

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Explore la décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints sur les espaces Hilbert.

Mécanique quantique : Postulats et observables

Explique les postulats de la mécanique quantique et la représentation des observables par les opérateurs.

Mesure: État quantique et observables

Discute de la mesure dans la mécanique quantique, en mettant l'accent sur les vecteurs d'état, les observables, les valeurs propres et les probabilités.

Groupe unitaire et types spectraux

Couvre la preuve de l'unicité du groupe unitaire et des types spectraux.

Propriétés du spectre

Explore les propriétés du spectre d'un opérateur en L(H), y compris la compacité et le rayon spectral.

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Opérateur non borné

Endomorphisme autoadjoint