Langage formelUn langage formel, en mathématiques, en informatique et en linguistique, est un ensemble de mots. L'alphabet d'un langage formel est l'ensemble des symboles, lettres ou lexèmes qui servent à construire les mots du langage ; souvent, on suppose que cet alphabet est fini. La théorie des langages formels a pour objectif de décrire les langages formels. Les mots sont des suites d'éléments de cet alphabet ; les mots qui appartiennent à un langage formel particulier sont parfois appelés mots bien formés ou formules bien formées.
Monoïde des tracesEn mathématiques et en informatique, une trace est un ensemble de mots, où certaines lettres peuvent commuter, et d'autres non. Le monoïde des traces ou monoïde partiellement commutatif libre est le monoïde quotient du monoïde libre par une relation de commutation de lettres. Le monoïde des traces est donc une structure qui se situe entre le monoïde libre et le monoïde commutatif libre. L'intérêt mathématique du monoïde des traces a été mis en évidence dans l'ouvrage fondateur .
MonoïdeEn mathématiques, un monoïde est une structure algébrique utilisée en algèbre générale, définie comme un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Autrement dit, c'est un magma associatif et unifère, c'est-à-dire un demi-groupe unifère. Il arrive parfois qu'une structure composée d'un ensemble et d'une unique opération soit relativement pauvre en éléments inversibles, par exemple un anneau où l'on considère uniquement la multiplication. Une telle structure est appelée monoïde.
Théorie des ensemblesLa théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
Théorie naïve des ensemblesLes ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques ; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions, etc.) peut se définir en termes d'ensembles. Il y a plusieurs façons de développer la théorie des ensembles et plusieurs théories des ensembles existent. Par théorie naïve des ensembles, on entend le plus souvent un développement informel d'une théorie des ensembles dans le langage usuel des mathématiques, mais fondée sur les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix dans le style du livre Naive Set Theory de Paul Halmos.
Free monoidIn abstract algebra, the free monoid on a set is the monoid whose elements are all the finite sequences (or strings) of zero or more elements from that set, with string concatenation as the monoid operation and with the unique sequence of zero elements, often called the empty string and denoted by ε or λ, as the identity element. The free monoid on a set A is usually denoted A∗. The free semigroup on A is the subsemigroup of A∗ containing all elements except the empty string. It is usually denoted A+.
Théorie des ensembles de ZermeloLa théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann. Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, numérotés comme dans cet article.
Associativité des puissancesEn algèbre, l'associativité des puissances est une forme affaiblie de l'associativité. Un magma est dit associatif des puissances si le sous-magma engendré par n'importe quel élément est associatif. Concrètement, cela signifie que si une opération est effectuée plusieurs fois sur un même élément , l'ordre dans lequel sont effectuées ces opérations n'a pas d'importance ; ainsi, par exemple, . Tout magma associatif est évidemment associatif des puissances.
Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Alphabetthumb|Lettres de l'alphabet phénicien. Un alphabet (de alpha et bêta, les deux premières lettres de l’alphabet grec) est un système d'écriture constitué d'un ensemble de symboles dont chacun représente, par exemple, un des phonèmes d’une langue. Chacun des symboles d'un alphabet ou graphèmes, est appelé « lettre ». Dans les cas les plus simples, chaque lettre correspond à un phonème de la langue et inversement.
History monoidIn mathematics and computer science, a history monoid is a way of representing the histories of concurrently running computer processes as a collection of strings, each string representing the individual history of a process. The history monoid provides a set of synchronization primitives (such as locks, mutexes or thread joins) for providing rendezvous points between a set of independently executing processes or threads.
Constructive set theoryAxiomatic constructive set theory is an approach to mathematical constructivism following the program of axiomatic set theory. The same first-order language with "" and "" of classical set theory is usually used, so this is not to be confused with a constructive types approach. On the other hand, some constructive theories are indeed motivated by their interpretability in type theories. In addition to rejecting the principle of excluded middle (), constructive set theories often require some logical quantifiers in their axioms to be set bounded, motivated by results tied to impredicativity.
Monoïde syntaxiqueEn informatique théorique, et en particulier dans la théorie des automates finis, le monoïde syntaxique d'un langage formel est un monoïde naturellement attaché au langage. L'étude de ce monoïde permet de refléter certaines propriétés combinatoires du langage par des caractéristiques algébriques du monoïde. L'exemple le plus célèbre de cette relation est la caractérisation, due à Marcel-Paul Schützenberger, des langages rationnels sans étoile (que l'on peut décrire par des expressions rationnelles avec complément mais sans l'étoile de Kleene) : ce sont les langages dont le monoïde syntaxique est fini et apériodique, c'est-à-dire ne contient pas de sous-groupe non trivial.
Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkelvignette|L'appartenance En mathématiques, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, abrégée en ZF, est une axiomatisation en logique du premier ordre de la théorie des ensembles telle qu'elle avait été développée dans le dernier quart du par Georg Cantor. L'axiomatisation a été élaborée au début du par plusieurs mathématiciens dont Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel mais aussi Thoralf Skolem.
Grammaire formelleUne grammaire formelle est un formalisme permettant de définir une syntaxe et donc un langage formel, c'est-à-dire un ensemble de mots admissibles sur un alphabet donné. La notion de grammaire formelle est particulièrement utilisée en programmation logique, compilation (analyse syntaxique), en théorie de la calculabilité et dans le traitement des langues naturelles (tout particulièrement en ce qui concerne leur morphologie et leur syntaxe).
Equivalence (formal languages)In formal language theory, weak equivalence of two grammars means they generate the same set of strings, i.e. that the formal language they generate is the same. In compiler theory the notion is distinguished from strong (or structural) equivalence, which additionally means that the two parse trees are reasonably similar in that the same semantic interpretation can be assigned to both. Vijay-Shanker and Weir (1994) demonstrates that Linear Indexed Grammars, Combinatory Categorial Grammars, Tree-adjoining Grammars, and Head Grammars are weakly equivalent formalisms, in that they all define the same string languages.
AssociateurDans une algèbre ou un anneau non nécessairement associative, l'associateur de trois éléments x, y et z, noté A(x,y,z) est défini par . Il est parfois noté aussi s'il n'y a pas de risque de confusion avec un produit mixte. L'associativité est exprimée par la nullité de la fonction A sur tous les triplets. L'alternativité est exprimée par l'égalité pour tout couple d'éléments (x,y). L'associateur est un opérateur trilinéaire. L'associateur permet de définir le noyau de la structure, à savoir l'ensemble des x tels que pour y et z quelconques, on a .
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Sémantique formelleEn linguistique, la sémantique formelle cherche à comprendre le sens (linguistique) en construisant des modèles mathématiques précis des principes utilisés par le locuteur pour définir la relation entre des expressions en langage naturel et l’environnement supportant un discours faisant sens. Les outils mathématiques utilisés sont une combinaison de logique mathématique et de langage formel théorique, plus particulièrement de lambda-calcul typé.
Semigroup with involutionIn mathematics, particularly in abstract algebra, a semigroup with involution or a *-semigroup is a semigroup equipped with an involutive anti-automorphism, which—roughly speaking—brings it closer to a group because this involution, considered as unary operator, exhibits certain fundamental properties of the operation of taking the inverse in a group: uniqueness, double application "cancelling itself out", and the same interaction law with the binary operation as in the case of the group inverse.
