Décomposition d'une matrice en éléments propresEn algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».
Valeur propre, vecteur propre et espace propreEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
Matrice diagonalisableEn mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.
Théorème spectralEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).
Linear least squaresLinear least squares (LLS) is the least squares approximation of linear functions to data. It is a set of formulations for solving statistical problems involved in linear regression, including variants for ordinary (unweighted), weighted, and generalized (correlated) residuals. Numerical methods for linear least squares include inverting the matrix of the normal equations and orthogonal decomposition methods. The three main linear least squares formulations are: Ordinary least squares (OLS) is the most common estimator.
Méthode des moindres carrés ordinairevignette|Graphique d'une régression linéaire La méthode des moindres carrés ordinaire (MCO) est le nom technique de la régression mathématique en statistiques, et plus particulièrement de la régression linéaire. Il s'agit d'un modèle couramment utilisé en économétrie. Il s'agit d'ajuster un nuage de points selon une relation linéaire, prenant la forme de la relation matricielle , où est un terme d'erreur.
Matrice diagonaleEn algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale. Toute matrice diagonale est symétrique, normale et triangulaire.
Matrice antisymétriqueEn mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée. Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A = –A ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si : pour tout i et j, aj,i = –ai,j Les matrices suivantes sont antisymétriques : Le cas où la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique 2 est très particulier.
Matrice symétriquevignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur. En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).
Matrice orthogonaleUne matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si A A = I, où A est la matrice transposée de A et I est la matrice identité. Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ ou les matrices de permutation, comme Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A = A. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
Méthode des moindres carrésLa méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au début du , permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces données. Ce modèle peut prendre diverses formes. Il peut s’agir de lois de conservation que les quantités mesurées doivent respecter. La méthode des moindres carrés permet alors de minimiser l’impact des erreurs expérimentales en « ajoutant de l’information » dans le processus de mesure.
Defective matrixIn linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable. In particular, an n × n matrix is defective if and only if it does not have n linearly independent eigenvectors. A complete basis is formed by augmenting the eigenvectors with generalized eigenvectors, which are necessary for solving defective systems of ordinary differential equations and other problems.
Generalized eigenvectorIn linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.
Matrice de ToeplitzEn algèbre linéaire, une matrice de Toeplitz (d'après Otto Toeplitz) ou matrice à diagonales constantes est une matrice dont les coefficients sur une diagonale descendant de gauche à droite sont les mêmes. Par exemple, la matrice suivante est une matrice de Toeplitz : Toute matrice A à n lignes et n colonnes de la forme est une matrice de Toeplitz. Si l'élément situé à l’intersection des ligne i et colonne j de A est noté Ai,j, alors on a : En général, une équation matricielle correspond à un système de n équations linéaires à résoudre.
Décomposition de SchurEn algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la formeoù U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure. On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires : Dans le cas où est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où est différente de l'application nulle.
HermitienPlusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite. Produit scalaire#Généralisation aux espaces vectoriels complexesProduit scalaire hermitien Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires : f est semi-linéaire par rapport à la première variable et f est linéaire par rapport à la deuxième variable Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus : ou, ce qui est équivalent : Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .
Diagonale principaleEn algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice carrée est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carrée d'ordre 3 qui suit a des 1 sur sa diagonale principale : Il s'agit en particulier de la matrice identité d'ordre 3. Ici, la diagonale principale est composée de 1 et on a également 2 diagonales « secondaires » de part et d'autre de la diagonale principale, composées par des 2 et l'autre par des 3.
Generalized least squaresIn statistics, generalized least squares (GLS) is a method used to estimate the unknown parameters in a linear regression model when there is a certain degree of correlation between the residuals in the regression model. Least squares and weighted least squares may need to be more statistically efficient and prevent misleading inferences. GLS was first described by Alexander Aitken in 1935. In standard linear regression models one observes data on n statistical units.
Orthogonal diagonalizationIn linear algebra, an orthogonal diagonalization of a symmetric matrix is a diagonalization by means of an orthogonal change of coordinates. The following is an orthogonal diagonalization algorithm that diagonalizes a quadratic form q(x) on Rn by means of an orthogonal change of coordinates X = PY. Step 1: find the symmetric matrix A which represents q and find its characteristic polynomial Step 2: find the eigenvalues of A which are the roots of . Step 3: for each eigenvalue of A from step 2, find an orthogonal basis of its eigenspace.
Numerical methods for linear least squaresNumerical methods for linear least squares entails the numerical analysis of linear least squares problems. A general approach to the least squares problem can be described as follows. Suppose that we can find an n by m matrix S such that XS is an orthogonal projection onto the image of X. Then a solution to our minimization problem is given by simply because is exactly a sought for orthogonal projection of onto an image of X (see the picture below and note that as explained in the next section the image of X is just a subspace generated by column vectors of X).
