Équation différentielle ordinaireEn mathématiques, une équation différentielle ordinaire (parfois simplement appelée équation différentielle et abrégée en EDO) est une équation différentielle dont la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP) où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables.
Équation différentielle linéaireUne équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions.
Équation différentielle homogèneL'expression équation différentielle homogène a deux significations totalement distinctes et indépendantes. Une équation différentielle du premier ordre mais non nécessairement linéaire est dite homogène de degré n si elle peut s'écrire sous la forme où F est une fonction homogène de degré n, c'est-à-dire vérifiant Autrement dit (en posant h(u)=F(1,u)), c'est une équation qui s'écrit Le cas le plus étudié est celui où le degré d'homogénéité est 0, à tel point que dans ce cas on ne mentionne même pas le degré.
Système d'équations linéairesEn mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple : Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément. La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en analyse numérique.
Combinaison linéaireEn mathématiques, une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes. Le concept de combinaison linéaire est central en algèbre linéaire et dans des domaines connexes des mathématiques. La majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d'espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l'article.
Équation différentielleEn mathématiques, une équation différentielle est une équation dont la ou les « inconnue(s) » sont des fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle. On distingue généralement deux types d'équations différentielles : les équations différentielles ordinaires (EDO) où la ou les fonctions inconnues recherchées ne dépendent que d'une seule variable ; les équations différentielles partielles, plutôt appelées équations aux dérivées partielles (EDP), où la ou les fonctions inconnues recherchées peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes.
Sous-espace vectorielEn algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, est une partie non vide F, de E, stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par : la somme de deux vecteurs de F appartient à F ; le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F. Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace de E. La réunion d'une famille non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le sous-espace engendré par cette réunion est la somme de cette famille.
Équation aux dérivées partiellesEn mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (parfois appelée équation différentielle partielle et abrégée en EDP) est une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire à une seule variable ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions.
Indépendance linéaireEn algèbre linéaire, étant donné une famille de vecteurs d'un même espace vectoriel, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres. Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, on dit qu'ils sont linéairement dépendants, ou qu'ils forment une famille liée.
Mathématiquesthumb|upright|Raisonnement mathématique sur un tableau. Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Fonction trigonométriquethumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.
Équation linéaireUne équation à coefficients réels ou complexes est dite linéaire quand elle peut être présentée sous la forme ax = b ou, de manière équivalente ax – b = 0, où x est l'inconnue, a et b sont deux nombres donnés. Si a est différent de zéro, la seule solution est le nombre x = b/a. Plus généralement, une équation est dite linéaire lorsqu'elle se présente sous la forme u(x) = b, où u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b étant un vecteur donné de F. On recherche l'inconnue x dans E.
Théorème de Cauchy-Peano-ArzelàLe théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue. Soient une fonction continue à valeurs dans , définie sur un cylindre compact , un majorant de la norme de sur , Alors, il existe une solution au problème de Cauchy On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en par des demi-intervalles d'extrémité .
Leonhard EulerLeonhard Euler (), né le à Bâle (Suisse) et mort le à Saint-Pétersbourg (Empire russe), est un mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne. Il était notamment membre de l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. Euler fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique.
Sous-espace vectoriel engendréDans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille. Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.
Équation différentielle à retardEn mathématiques, les équations différentielles à retard (EDR) sont un type d'équation différentielle dans laquelle la dérivée de la fonction inconnue à un certain instant est donnée en fonction des valeurs de la fonction aux instants précédents. Les EDR sont également appelés des systèmes à retard, systèmes avec effet secondaire ou temps mort, systèmes héréditaires, équations à argument déviant, ou équations aux différences différentielles .
Équation diophantiennevignette|Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante. Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation polynomiale à une ou plusieurs inconnues dont les solutions sont cherchées parmi les nombres entiers, éventuellement rationnels, les coefficients étant eux-mêmes également entiers. La branche des mathématiques qui s'intéresse à la résolution de telles équations s'est appelée longtemps l'analyse indéterminée avant de se fondre dans l'arithmétique ou la théorie des nombres.
Formule d'EulerLa formule d'Euler est une égalité mathématique, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle s'écrit, pour tout nombre réel x, et se généralise aux x complexes. Ici, le nombre e est la base des logarithmes naturels, i est l'unité imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques. Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction x ↦ e, appelée fonction cis, décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque x varie dans l'ensemble des nombres réels.
Fonction elliptique de JacobiEn mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.
Équation différentielle stochastiqueUne équation différentielle stochastique (EDS) est une généralisation de la notion d'équation différentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de diffusion. Elles permettent aussi de traiter théoriquement ou numériquement des problèmes issus de la théorie des équations aux dérivées partielles.
