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Groupes d'automorphisme : Arbres et graphiques III

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Description

Cette séance de cours de l'instructeur couvre les groupes automorphisme des arbres et des graphiques, en mettant l'accent sur les actions sur les arbres, les sous-groupes normaux et la couverture universelle des arbres réguliers. La séance de cours traite de l'existence des groupes vertex-transitifs et des homomorphismes de groupe, ainsi que des propriétés des graphiques quotients et des actions de groupe. Différents théorèmes et lemmas sont présentés pour illustrer les concepts.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Théorie des représentations, Algèbre générale

Mathématiques discrètes: Théorie des graphes

Concepts associés (32)

Action de groupe (mathématiques)

En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.

Densité d'un graphe

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, on peut associer à tout graphe un entier appelé densité du graphe. Ce paramètre mesure si le graphe a beaucoup d'arêtes ou peu. Un graphe dense (dense graph) est un graphe dans lequel le nombre d'arêtes (ou d'arcs) est proche du nombre maximal, par exemple un nombre quadratique par rapport au nombre de sommets. Un graphe creux (sparse graph) a au contraire peu d'arêtes, par exemple un nombre linéaire. La distinction entre graphe creux et dense est plutôt vague et dépend du contexte.

Groupe symétrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini. Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, .

Automorphisme de graphe

vignette|On peut définir deux automorphismes sur le graphe maison : l'identité et la permutation qui échange les deux « murs » de la « maison ». En mathématiques et en particulier en théorie des graphes, un automorphisme de graphe est une bijection de l'ensemble des sommets vers lui-même qui préserve l'ensemble des arêtes. On peut voir l'automorphisme de graphes comme un isomorphisme de graphes du graphe dans lui-même. On peut en général s'arranger pour mettre en évidence visuellement les automorphismes de graphes sous forme de symétries dans le tracé du graphe.

Automorphism group

In mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group is the group consisting of all group automorphisms of X. Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group.

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Séances de cours associées (64)

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Groupes : Définitions, propriétés et homomorphismes

Présente les concepts de base des groupes, y compris les définitions, les propriétés et les homomorphismes, en mettant l'accent sur les propriétés des sous-groupes et les sous-groupes normaux.

Groupes automorphistes d'arbres et de graphiques

Explore les automorphismes des graphiques, en se concentrant sur les groupes d'automorphisme, les graphiques Cayley-Abels et la quasi-isométrie.

Morphisme des groupes

Couvre le concept de morphisme de groupes, d'actions sur des ensembles et d'automorphismes.

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Densité d'un graphe

Groupe symétrique

Automorphisme de graphe

Automorphism group

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