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Martingales et le mouvement brownien : principe de réflexion

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Dans cours

MATH-330: Martingales and Brownian motion

Introduction to the theory of discrete-time martingales (optional stopping and convergence theorems) and its applications (gambler's ruin, branching processes, Pólya urns...). Introduction to Brownian motion. ...

Description

Cette séance de cours présente le principe de réflexion dans le contexte des martingales et du mouvement brownien, en expliquant comment simuler des interactions en petits groupes dans des salles de classe virtuelles. L'instructeur démontre le calcul des probabilités liées à la position maximale atteinte par le mouvement brownien à différents instants, en utilisant le principe de réflexion pour simplifier les calculs. La séance de cours couvre également le premier temps de passage du mouvement brownien à un niveau spécifié, fournissant un aperçu de la fonction de densité et de la fonction de distribution. La session comprend une explication détaillée des dérivés mathématiques impliqués dans ces calculs, en mettant l'accent sur la compréhension des principes derrière la méthode de réflexion.

Source officielle

Proximité ontologique

Statistique

Inférence statistique: Statistique mathématique

Concepts associés (25)

Fonction de répartition

En théorie des probabilités, la fonction de répartition, ou fonction de distribution cumulative, d'une variable aléatoire réelle X est la fonction F_X qui, à tout réel x, associe la probabilité d’obtenir une valeur inférieure ou égale : Cette fonction est caractéristique de la loi de probabilité de la variable aléatoire.

Fonction de répartition empirique

En statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon. Soit X,...,X un échantillon de variables iid définies sur un espace de probabilité , à valeurs dans , avec pour fonction de répartition F. La fonction de répartition empirique de l'échantillon est définie par : où est la fonction indicatrice de l'événement A. Pour chaque ω, l'application est une fonction en escalier, fonction de répartition de la loi de probabilité uniforme sur l'ensemble .

Fonction quantile

En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles. Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par pour toute valeur de , la notation désignant l’inverse généralisé à gauche de . Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors est l'unique valeur de telle que . correspond alors à la fonction réciproque de , notée . En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

Distribution (mathématiques)

En analyse mathématique, une distribution (également appelée fonction généralisée) est un objet qui généralise la notion de fonction et de mesure. La théorie des distributions étend la notion de dérivée à toutes les fonctions localement intégrables et au-delà, et est utilisée pour formuler des solutions à certaines équations aux dérivées partielles. Elles sont importantes en physique et en ingénierie où beaucoup de problèmes discontinus conduisent naturellement à des équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des fonctions ordinaires.

Loi de Cauchy (probabilités)

La loi de Cauchy, appelée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité continue qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy. Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si sa densité , dépendant des deux paramètres et ( > 0) est définie par : La fonction ainsi définie s'appelle une lorentzienne. Elle apparaît par exemple en spectroscopie pour modéliser des raies d'émission. Cette distribution est symétrique par rapport à (paramètre de position), le paramètre donnant une information sur l'étalement de la fonction (paramètre d'échelle).

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Séances de cours associées (64)

Calculs des attentes

Couvre le calcul de l'attente et de la variance pour différents types de variables aléatoires, y compris les variables discrètes et continues.

Variables aléatoires continues

Explore les variables aléatoires continues, les fonctions de densité, les variables articulaires, l'indépendance et les densités conditionnelles.

Éléments de la statistique : probabilité et variables aléatoires

Introduit des concepts clés en variables de probabilité et aléatoires, couvrant les statistiques, les distributions et la covariance.

Probabilité et statistiques

Explore les variables aléatoires conjointes, la densité conditionnelle et l'indépendance en probabilités et en statistiques.

Martingales et le mouvement brownien: laisser des intervalles et une distribution maximale

Explore le temps moyen pendant lequel un mouvement brownien quitte un intervalle et la distribution maximale.

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Concepts associés (25)

Fonction de répartition

Fonction de répartition empirique

Fonction quantile

Distribution (mathématiques)

Loi de Cauchy (probabilités)

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