Séance de cours

Exemples de quasi-catégories

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Description

Cette séance de cours explore deux exemples de quasi-catégories, en se concentrant sur les complexes Kan et les nerfs de catégories. L'instructeur explique comment chaque complexe Kan est une quasi-catégorie, menant au concept d'une catégorie d'homotopie. La séance de cours explore la relation entre les complexes Kan et les quasi-catégories, en soulignant le facteur d'inclusion des complexes Kan aux quasi-catégories et en discutant de l'adjoint gauche. La discussion couvre également la catégorie d'homotopie d'un complexe Kan, en mettant l'accent sur les objets et les morphismes en son sein. La séance de cours se termine par un théorème plus large impliquant une adjonction entre quasi-catégories et catégories, présentant l'adjoint droit comme le nerf et l'adjoint gauche comme la catégorie d'homotopie.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (24)

Quasi-catégorie

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une quasi-catégorie est une généralisation de la notion de catégorie. L'étude de telles généralisations est connue sous le nom de théorie des catégories supérieures. Les quasi-catégories ont été introduites par et Vogt en 1973. André Joyal a fait beaucoup progresser l'étude des quasi-catégories en montrant qu’il existe un analogue pour les quasi-catégories de la plupart des notions de base de la théorie des catégories et même de certaines notions et théorèmes d’un niveau plus avancé.

Homotopy category

In mathematics, the homotopy category is a built from the category of topological spaces which in a sense identifies two spaces that have the same shape. The phrase is in fact used for two different (but related) categories, as discussed below. More generally, instead of starting with the category of topological spaces, one may start with any and define its associated homotopy category, with a construction introduced by Quillen in 1967. In this way, homotopy theory can be applied to many other categories in geometry and algebra.

Catégorie de modèles

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.

Théorie de l'homotopie

La théorie de l'homotopie est une branche des mathématiques issue de la topologie algébrique dans laquelle les espaces et applications sont considérés à homotopie près. La notion topologique de déformation est étendue à des contextes algébriques notamment via les structures de complexe différentiel puis d’algèbre A. Étant donné deux équivalences d’homotopie f : X′ → X et g : Y → Y′, l’ensemble des classes d'homotopie des applications continues entre X et Y s’identifie à celui des applications entre X′ et Y′ par composition avec f et g.

A¹ homotopy theory

In algebraic geometry and algebraic topology, branches of mathematics, A1 homotopy theory or motivic homotopy theory is a way to apply the techniques of algebraic topology, specifically homotopy, to algebraic varieties and, more generally, to schemes. The theory is due to Fabien Morel and Vladimir Voevodsky. The underlying idea is that it should be possible to develop a purely algebraic approach to homotopy theory by replacing the unit interval [0, 1], which is not an algebraic variety, with the affine line A1, which is.

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Théorie de l'homotopie des complexes de chaînes

Explore la théorie de l'homotopie des complexes de chaînes, en se concentrant sur les catégories de modèles, les équivalences faibles, et l'axiome de rétractation.

Homotopie Catégorie d'une catégorie modèle

Introduit la catégorie d'homotopie d'une catégorie modèle avec des équivalences faibles inversées et des équivalences d'homotopie uniques.

Catégorie Homotopie et Functors dérivés

Explore la catégorie homotopie des complexes de chaînes et la relation entre les quasi-isomorphismes et les équivalences homotopiques de chaînes.

Théorie de l'homotopie: cylindres et objets de chemin

Couvre les cylindres, les objets de chemin et l'homotopie dans les catégories de modèles.

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Les couvertures induisent des homomorphismes sur les groupes d'homologie relative et leurs propriétés.

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Catégorie de modèles

Théorie de l'homotopie

A¹ homotopy theory

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