Complexe différentielEn mathématiques, un complexe différentiel est un groupe abélien (voire un module), ou plus généralement un objet d'une catégorie abélienne, muni d'un endomorphisme de carré nul (appelé différentielle ou bord), c'est-à-dire dont l' est contenue dans le noyau. Cette condition permet de définir son homologie, qui constitue un invariant essentiel en topologie algébrique. Un complexe différentiel peut être gradué pour constituer un complexe de chaines ou de cochaines).
Catégorie homotopique des complexes de chaînesEn algèbre homologique, la catégorie homotopique K(A) des complexes de chaînes dans une catégorie additive A est un cadre pour travailler avec des complexes de chaînes et équivalences homotopiques. Elle est un intermédiaire entre la catégorie des complexes de chaînes Kom(A) de A et la catégorie dérivée D(A) de A lorsque A est abélien ; contrairement à la première, c'est une catégorie triangulée, et contrairement à la seconde, sa construction n'exige pas que A soit abélien.
AlgèbreL'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
Théorie des catégoriesLa théorie des catégories est l'étude des structures mathématiques et de leurs relations. Ce domaine est né du constat de l'abondance de caractéristiques partagées par diverses classes liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice.
Homologie (mathématiques)En mathématiques, l'homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique.
Homologie singulièreEn topologie algébrique, l'homologie singulière est une construction qui permet d'associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association est un invariant topologique non complet, c'est-à-dire que si deux espaces sont homéomorphes alors ils ont mêmes groupes d'homologie singulière en chaque degré mais que la réciproque est fausse. Le théorème de Stokes appliqué à des formes fermées donne des intégrales nulles. Cependant, il se fonde sur une hypothèse cruciale de compacité.
Théorie de l'homotopieLa théorie de l'homotopie est une branche des mathématiques issue de la topologie algébrique dans laquelle les espaces et applications sont considérés à homotopie près. La notion topologique de déformation est étendue à des contextes algébriques notamment via les structures de complexe différentiel puis d’algèbre A. Étant donné deux équivalences d’homotopie f : X′ → X et g : Y → Y′, l’ensemble des classes d'homotopie des applications continues entre X et Y s’identifie à celui des applications entre X′ et Y′ par composition avec f et g.
Théorie des catégories supérieuresEn mathématiques, la théorie des catégories supérieures est la partie de la théorie des catégories à un ordre supérieur, ce qui signifie que certaines égalités sont remplacées par des flèches explicites afin de pouvoir étudier explicitement la structure derrière ces égalités. La théorie des catégories supérieures est souvent appliquée en topologie algébrique (en particulier en théorie de l'homotopie ), où l'on étudie les invariants algébriques des espaces, tels que leur ∞-groupoïde fondamental faible.
Sphère d'homologieEn topologie algébrique, une sphère d'homologie (ou encore, sphère d'homologie entière) est une variété X de dimension n ≥ 1 qui a les mêmes groupes d'homologie que la n-sphère standard S, à savoir : H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z) et Hi(X,Z) = {0} pour tout autre entier i. Une telle variété X est donc connexe, fermée (i.e. compacte et sans bord), orientable, et avec (à part b0 = 1) un seul nombre de Betti non nul : bn. Les sphères d'homologie rationnelle sont définies de façon analogue, avec l'homologie à coefficients rationnels.
FibrationEn théorie de l'homotopie, une fibration est une application continue entre espaces topologiques satisfaisant une propriété de relèvement des homotopies, qui est satisfaite en général par les projections fibrées. Les fibrations de Serre relèvent les homotopies depuis les CW-complexes tandis que les fibrations de Hurewicz relèvent les homotopies depuis n'importe quel espace topologique.
Category (mathematics)In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.
Section (théorie des catégories)vignette|Ici, g est une section de f, et f est une rétraction de g. Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes , tel que (le morphisme identité de Y, souvent réalisé par l'application identité sur Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g. En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).
Homologie de FloerL'homologie de Floer est une adaptation de l'homologie de Morse en dimension infinie. L'homologie de Floer symplectique (HFS) est une théorie homologique pour une variété symplectique munie d'un symplectomorphisme non-dégénéré. Si le symplectomorphisme est hamiltonien, l'homologie provient de l'étude de la fonctionnelle d'action symplectique sur le revêtement universel de l'espace des lacets de la variété symplectique. L'homologie de Floer symplectique est invariante par isotopie hamiltonienne du symplectomorphisme.
Relative homologyIn algebraic topology, a branch of mathematics, the (singular) homology of a topological space relative to a subspace is a construction in singular homology, for pairs of spaces. The relative homology is useful and important in several ways. Intuitively, it helps determine what part of an absolute homology group comes from which subspace. Given a subspace , one may form the short exact sequence where denotes the singular chains on the space X. The boundary map on descends to and therefore induces a boundary map on the quotient.
Algèbre de LieEn mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et .
Topologievignette|Déformation continue d'une tasse avec une anse, en un tore (bouée). thumb|Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie. La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Anneau (mathématiques)vignette|Richard Dedekind - 1870 En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs. Plus précisément, deux définitions sont représentées dans la littérature mathématique, selon la considération d'un élément neutre : la majorité des sources récentes définissent un « anneau » comme un anneau unitaire, avec la multiplication ayant un élément neutre ; tandis que, selon de nombreux ouvrages, la présence d'une unité multiplicative n'est pas requise, et ce type d'anneau est ailleurs dénommé pseudo-anneau.
C*-algèbreEn mathématiques, une C*-algèbre (complexe) est une algèbre de Banach involutive, c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet sur le corps des complexes, muni d'une involution notée , et d'une structure d'algèbre complexe. Elle est également nommée algèbre stellaire. Les C*-algèbres sont des outils importants de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Israel Gelfand et Irving Segal. Les algèbres stellaires sont centrales dans l'étude des représentations unitaires de groupes localement compacts.
Dual (category theory)In , a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements.
