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Une conjecture d'Erdös : preuve de Moreira, Richter et Robertson

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Description

Cette séance de cours présente une courte preuve d'une conjecture d'Erdös, récemment prouvée par Moreira, Richter et Robertson. Le théorème indique que chaque sous-ensemble de densité positive contient la somme de deux sous-ensembles infinis. La séance de cours explore les questions connexes, le vocabulaire, les systèmes dynamiques topologiques, et la preuve détaillée de la proposition. La preuve implique la construction d'un système dynamique topologique, de sous-ensembles ouverts, de mesures invariantes et de séquences d'entiers. La séance de cours se termine par la construction d'un facteur Kronecker et des ensembles de mauvais entiers.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Mesure (mathématiques)

Topologie: General topology

Logique mathématique: Théorie des ensembles

Systems science and engineering

Théorie générale des systèmes: Théorie du chaos

Concepts associés (32)

Ergodicity

In mathematics, ergodicity expresses the idea that a point of a moving system, either a dynamical system or a stochastic process, will eventually visit all parts of the space that the system moves in, in a uniform and random sense. This implies that the average behavior of the system can be deduced from the trajectory of a "typical" point. Equivalently, a sufficiently large collection of random samples from a process can represent the average statistical properties of the entire process.

Théorie ergodique

vignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».

Système dynamique

En mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est la donnée d’un système et d’une loi décrivant l'évolution de ce système. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discrets (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).

Théorie des systèmes dynamiques

La théorie des systèmes dynamiques désigne couramment la branche des mathématiques qui s'efforce d'étudier les propriétés d'un système dynamique. Cette recherche active se développe à la frontière de la topologie, de l'analyse, de la géométrie, de la théorie de la mesure et des probabilités. La nature de cette étude est conditionnée par le système dynamique étudié et elle dépend des outils utilisés (analytiques, géométriques ou probabilistes).

Conjugaison topologique

En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des systèmes dynamiques, deux fonctions et sont dites topologiquement conjuguées (ou simplement conjuguées lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion avec, par exemple, la conjugaison complexe) s'il existe un homéomorphisme tel que (où note la composition des fonctions). Deux fonctions conjuguées ont les mêmes propriétés dynamiques (par exemple le même nombre de points fixes), d'où l'importance de cette notion dans l'étude en particulier des suites définies par itération.

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Propriétés ergonomiques de systèmes symboliques de faible complexité

Explore l'influence de la complexité sur les propriétés ergonomiques des systèmes symboliques, présentant le théorème Curtis-Hedlund-Lyndon et les constructions de sous-postes minimaux.

Produit cartésien et induction

Présente le produit cartésien et l'induction pour les épreuves utilisant des entiers et des ensembles.

Topologie des surfaces de Riemann

Couvre la topologie des surfaces de Riemann, en se concentrant sur l'orientation et l'orientabilité.

Intégration de formes différentielles

Couvre l'intégration de formes différentielles sur des variétés lisses, y compris les concepts de formes fermées et exactes.

Analyse IV : Théorèmes de convergence et fonctions intégrables

Couvre les théorèmes de convergence et les fonctions intégrables, y compris les ensembles intégraux de Lebesgue et de Borel-Cantelli.

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Ergodicity

Théorie ergodique

Système dynamique

Théorie des systèmes dynamiques

Conjugaison topologique

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