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Séance de cours

Isomestries dans l'espace: Synthèse

Description

Cette séance de cours couvre la synthèse des isométries dans l'espace, en se concentrant sur les types d'isométries et les éléments laissés invariants par eux, tels que les points, les axes et les plans. Il se penche également sur la complexité de la détermination des symétries dans les objets 3D et sur l'importance des utilisateurs dans ce processus.

Enseignant·e

Bernard Cache

Source officielle

Concepts associés (16)

Isometry group

In mathematics, the isometry group of a metric space is the set of all bijective isometries (that is, bijective, distance-preserving maps) from the metric space onto itself, with the function composition as group operation. Its identity element is the identity function. The elements of the isometry group are sometimes called motions of the space. Every isometry group of a metric space is a subgroup of isometries. It represents in most cases a possible set of symmetries of objects/figures in the space, or functions defined on the space.

Symétrie

La symétrie est une propriété d'un système : c'est lorsque deux parties sont semblables. L'exemple le plus connu est la symétrie en géométrie. De manière générale, un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Le concept d'automorphisme permet de préciser cette définition. Un papillon, par exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée.

Hache

Une hache est un outil formé d'une lame (ou fer) actuellement de métal (d'acier le plus souvent) et initialement en pierre taillée, attachée à un manche de bois. Elle est le plus souvent utilisée pour couper du bois, mais elle fut également employée comme arme. Les pompiers l'utilisent pour ouvrir des portes. Les plus anciennes traces de haches ont été trouvées en Afrique et leur âge est évalué à 1,6 million d'années. Le terme qui désigne cet outil dans la Préhistoire est hachereau.

Groupe de symétrie

Le groupe de symétrie, ou groupe des isométries, d'un objet (, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir ci-dessous.

Isométrie affine

Une isométrie affine est une transformation bijective d'un espace affine euclidien dans un autre qui est à la fois une application affine et une isométrie (c'est-à-dire une bijection conservant les distances). Si cette isométrie conserve aussi l'orientation, on dit que c'est un déplacement. Si elle inverse l'orientation, il s'agit d'un antidéplacement. Les déplacements sont les composés de translations et rotations. Les réflexions sont des antidéplacements. On désigne par le plan (, plus précisément, un plan affine réel euclidien).

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