IsomorphismeEn mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ». Par exemple, sur l'intervalle des valeurs ... peuvent être remplacées par leur logarithme ..., et les relations d'ordre entre elles seront conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs et en prenant les exponentielles de et .
Groupe abélienEn mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
Groupe abélien de type finiEn mathématiques, un groupe abélien de type fini est un groupe abélien qui possède une partie génératrice finie. Autrement dit : c'est un module de type fini sur l'anneau Z des entiers relatifs. Par conséquent, les produits finis, les quotients, mais aussi les sous-groupes des groupes abéliens de type fini sont eux-mêmes de type fini. Un théorème de structure des groupes abéliens de type fini permet d'expliciter la liste complète de ces groupes à isomorphisme près ; il montre notamment que tout groupe abélien de type fini est un produit fini de groupes monogènes.
Diagramme commutatifEn mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, si l'on suit à travers le diagramme un chemin d'un objet à un autre, le résultat par composition des morphismes ne dépend que de l'objet de départ et de l'objet d'arrivée. Cette définition peut être visualisée par le dessin élémentaire ci-contre. On se place dans la catégorie Ens. Les objets sont les ensembles A, B et C en réalité tous égaux ici à {1,2,3,4}.
Théorie des groupesvignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Module injectifEn mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : X → Y entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : X → Q, il existe un morphisme h : Y → Q tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute : center Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.
Injective objectIn mathematics, especially in the field of , the concept of injective object is a generalization of the concept of injective module. This concept is important in cohomology, in homotopy theory and in the theory of . The dual notion is that of a projective object. An in a is said to be injective if for every monomorphism and every morphism there exists a morphism extending to , i.e. such that . That is, every morphism factors through every monomorphism . The morphism in the above definition is not required to be uniquely determined by and .
Théorèmes d'isomorphismeEn mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes. Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ». Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes , on peut rendre injectif en quotientant par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.
Suite exacteEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l' de l'un est égale au noyau du suivant. Dans le contexte de la théorie des groupes, on dit que la suite (finie ou infinie) de groupes et de morphismes de groupes est exacte si pour tout entier naturel n on a . Dans ce qui précède, sont des groupes et des morphismes de groupes avec . Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
Torsion-free abelian groupIn mathematics, specifically in abstract algebra, a torsion-free abelian group is an abelian group which has no non-trivial torsion elements; that is, a group in which the group operation is commutative and the identity element is the only element with finite order. While finitely generated abelian groups are completely classified, not much is known about infinitely generated abelian groups, even in the torsion-free countable case. Abelian group An abelian group is said to be torsion-free if no element other than the identity is of finite order.
Catégorie des groupes abéliensEn mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens. La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi : Les objets sont les groupes abéliens ; Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes. C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes. La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur : La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie.
Group isomorphismIn abstract algebra, a group isomorphism is a function between two groups that sets up a one-to-one correspondence between the elements of the groups in a way that respects the given group operations. If there exists an isomorphism between two groups, then the groups are called isomorphic. From the standpoint of group theory, isomorphic groups have the same properties and need not be distinguished.
Théorie géométrique des groupesLa théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Injective hullIn mathematics, particularly in algebra, the injective hull (or injective envelope) of a module is both the smallest injective module containing it and the largest essential extension of it. Injective hulls were first described in . A module E is called the injective hull of a module M, if E is an essential extension of M, and E is injective. Here, the base ring is a ring with unity, though possibly non-commutative. An injective module is its own injective hull. The injective hull of an integral domain is its field of fractions .
Anneau commutatifUn anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Groupe abélien libreEn mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre.
Foncteur exactEn mathématiques, un foncteur exact est un foncteur qui commute aux limites inductives et projectives. De manière équivalente, c'est un foncteur qui préserve les suites exactes de catégories abéliennes et c'est de cela que vient la dénomination. Des foncteurs de ce type apparaissent naturellement en homologie et d'une manière générale en théorie des catégories, où leurs propriétés permettent des calculs élégants. Le « défaut d'exactitude » est mesuré par les foncteurs dérivés, par exemple les foncteurs Tor et Ext.
Groupe divisibleEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe abélien divisible est un groupe abélien G tel que, pour tout nombre naturel n ≥ 1, on ait (en notation additive) G = nG. Ceci revient à dire que pour tout élément x de G et tout nombre naturel n ≥ 1, il existe au moins un élément y de G tel que x = ny. On peut étendre cette définition aux groupes non abéliens, un groupe divisible étant un groupe dans lequel (en notation multiplicative) tout élément est n-ième puissance, quel que soit l'entier naturel n ≥ 1.
Order isomorphismIn the mathematical field of order theory, an order isomorphism is a special kind of monotone function that constitutes a suitable notion of isomorphism for partially ordered sets (posets). Whenever two posets are order isomorphic, they can be considered to be "essentially the same" in the sense that either of the orders can be obtained from the other just by renaming of elements. Two strictly weaker notions that relate to order isomorphisms are order embeddings and Galois connections.
