Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Factorisation dans les principaux domaines idéaux

Description

Cette séance de cours couvre la factorisation dans les principaux domaines idéaux (PID), où chaque idéal premier est maximal. Il explore la factorisation unique des idéaux, l'anneau Z[i] et le concept de Domaines idéaux principaux. La séance de cours se penche également sur la relation entre les sommes de deux carrés et les propriétés des nombres premiers.

Cette vidéo est disponible exclusivement sur Mediaspace pour un public restreint. Veuillez vous connecter à Mediaspace pour y accéder si vous disposez des autorisations nécessaires.

Regarder sur Mediaspace

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Idéal

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.

Idéal premier

En algèbre commutative, un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire est un idéal tel que le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre. Ce concept généralise la notion de nombre premier à des anneaux à la structure moins simple d'accès que l'anneau des entiers relatifs. Ils jouent un rôle particulièrement important en théorie algébrique des nombres. thumb|Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal.

Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes

En mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau O des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de O, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article « Décomposition des idéaux premiers ».

Théorie des anneaux

En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.

Anneau principal

vignette|Schéma heuristique des structures algébriques. Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique. Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, .

Afficher plus

Séances de cours associées (47)

Éléments idempotents et orthogonaux centraux Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Explore les éléments idempotents, les éléments orthogonaux centraux, les anneaux commutatifs et les idéaux premiers dans les anneaux non centraux.

Factorisation dans les PID Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Couvre la factorisation en PID, idéaux premiers, tuples uniques et facteurs premiers communs.

Anneaux Dedekind: Théorie et applications Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Explore les anneaux Dedekind, la fermeture intégrale, la factorisation des idéaux, et Lemma de Gauss.

Relations de congruence en anneaux Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Explore les relations de congruence dans les anneaux, les principaux idéaux, les homomorphismes des anneaux et les caractéristiques des anneaux.

Théorème du reste des Chinois: Anneaux et Champs Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Couvre le reste du théorème chinois pour les anneaux commutatifs et entiers, les anneaux polynômes et les domaines euclidéens.

Afficher plus

Concepts associés (32)

Idéal

Idéal premier

Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes

Théorie des anneaux

Anneau principal

Afficher plus