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Séance de cours

Somme directe: Lemme 1.2

Description

Cette séance de cours explore les sommes directes dans le contexte des groupes abeliens.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Direct sum

The direct sum is an operation between structures in abstract algebra, a branch of mathematics. It is defined differently, but analogously, for different kinds of structures. To see how the direct sum is used in abstract algebra, consider a more elementary kind of structure, the abelian group. The direct sum of two abelian groups and is another abelian group consisting of the ordered pairs where and . To add ordered pairs, we define the sum to be ; in other words addition is defined coordinate-wise.

Théorie des catégories

La théorie des catégories est l'étude des structures mathématiques et de leurs relations. Ce domaine est né du constat de l'abondance de caractéristiques partagées par diverses classes liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice.

Somme (catégorie)

En mathématiques, dans une catégorie, la somme ou coproduit peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un objet X ainsi qu'une famille de morphismes tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on a . Si un tel objet X existe, on l'appelle somme des . Lorsqu'elle existe, la somme des X représente le foncteur qui à un objet Y de associe le produit cartésien .

Groupe abélien

En mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.

Somme directe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant la propriété universelle de la somme (ou « coproduit ») au sens des catégories. Produit direct (groupes)#Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliensSomme directe interne de sous-groupes abéliens Soient F et F deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E.

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Cas X et notations

Introduit Lemma 1.14 pour les ensembles finis en Ab et discute des notations et des propriétés des sommes directes.

Sommes directes dans les groupes abeliens

Explore les sommes directes dans les groupes abeliens, en mettant l'accent sur l'existence et l'unicité.

Somme directe des groupes abeliens

Explore la somme directe des groupes abeliens, en mettant l'accent sur les bijections et l'unicité.

Théorie de groupe: Functor Restriction

Explore le functeur de restriction en théorie de groupe, en se concentrant sur ses propriétés.

Transformations naturelles en théorie de groupe

Introduit des transformations naturelles dans la théorie de groupe et la théorie de catégorie, en mettant l'accent sur leur définition et leur signification.

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