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Séance de cours

Équation de classe et Lemma de Burnside

Description

Cette séance de cours présente deux formules, l'équation de classe et le lemme de Burnside, qui relient les nombres liés aux points fixes, aux stabilisateurs, aux orbites et aux actions de groupe. L'équation de classe relie les cardinalités des classes stabilisatrices, tandis que le lemme de Burnside établit une relation entre les orbites et les points fixes en calculant la cardinalité moyenne des ensembles de points fixes.

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Concepts associés (28)

Homomorphism

In algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).

Morphisme de groupes

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que et l'on en déduit alors que f(e) = e (où e et e désignent les neutres respectifs de G et G) et ∀x ∈ G f(x) = [f(x)]. donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).

Orbite

vignette|La Station spatiale internationale en orbite au-dessus de la Terre. En mécanique céleste et en mécanique spatiale, une orbite () est la courbe fermée représentant la trajectoire que dessine, dans l'espace, un objet céleste sous l'effet de la gravitation et de forces d'inertie. Une orbite est ainsi la courbe tracée par une trajectoire périodique. Dans le Système solaire, la Terre, les autres planètes, les astéroïdes et les comètes sont en orbite autour du Soleil.

Théorie des groupes

vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.

Théorie géométrique des groupes

La théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.

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Séances de cours associées (57)

Faits importants concernant les points fixes et les orbits

Explore les actions de groupe, les points fixes, les orbites, l'équation de classe et le Lemma de Burnside.

Équation de classe et Lemma de Burnside

Couvre l'équation de classe en théorie de groupe et le Lemma de Burnside, qui relie orbites et points fixes.

Classement des prorogations

Explore la classification des extensions dans la théorie de groupe, en mettant l'accent sur les extensions fractionnées et les produits semi-directs.

Sous-ensembles et sous-groupes associés à une action

Explore les sous-groupes et les sous-groupes liés aux actions de groupe sur les ensembles.

Récapitulation de la théorie du groupe

Fournit un résumé de la théorie de groupe, définissant un groupe comme un ensemble avec une opération de multiplication.

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Théorie géométrique des groupes

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