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Groupes de quotients et push-outs

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Description

Cette séance de cours commence par une discussion sur la construction d'un produit des espaces G, suivie d'une digression philosophique sur l'universalité et la co-universalité, puis se penche sur la construction explicite des push-outs dans la catégorie Ens. Les diapositives couvrent des sujets tels que la définition du produit des groupes, la construction de push-outs, et les concepts philosophiques liés aux propriétés universelles et co-universelles.

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Concepts associés (32)

Propriété universelle

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur. De très nombreux objets classiques des mathématiques, comme la notion de produit cartésien, de groupe quotient, ou de compactifié, peuvent être définis comme des solutions de problèmes universels.

Théorie des groupes

vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.

Groupe (mathématiques)

vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.

Théorie géométrique des groupes

La théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.

Groupe quotient

Dans l'étude des groupes, le quotient d'un groupe est une opération classique permettant la construction de nouveaux groupes à partir d'anciens. À partir d'un groupe G et d'un sous-groupe H de G, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que le sous-groupe H soit normal, c'est-à-dire que les classes à droite soient égales aux classes à gauche (gH = Hg). Étant donné un élément g de G, nous définissons la classe à gauche gH = { gh | h ∈ H }.

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Séances de cours associées (46)

Actions de groupe et Functors

Couvre les quotients de groupe, les actions de groupe et les functeurs connectant des ensembles et des ensembles G.

Groupes Coxeter : Groupes électrogènes et relations

Explore les groupes Coxeter, mettant l'accent sur les générateurs, les relations et les présentations uniques en théorie de groupe.

Amalgames : Groupe Pushouts

Couvre le concept d'amalgames, définissant les poussoirs et les groupes de quotient dans la théorie des groupes.

Homomorphisme des groupes : Signature

Explore les homomorphismes des groupes, en se concentrant sur la signature sgn et le concept de cycles et de transpositions.

Théorie de groupe

Introduit les bases de la théorie de groupe, couvrant les définitions, les exemples, les sous-groupes et les homomorphismes.

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Théorie des groupes

Groupe (mathématiques)

Théorie géométrique des groupes

Groupe quotient

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