Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Théorie du morse : Points critiques et non-dégénérescence

Description

Cette séance de cours couvre la théorie du Morse, axée sur les points critiques, la non-dégénérescence et l'indice des points critiques. Il explique le concept de la théorie du Morse et ses applications dans l'identification des points critiques dans diverses fonctions.

Source officielle

Concepts associés (32)

Fonction elliptique de Jacobi

En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

Fonction trigonométrique

thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

Fonction thêta

En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.

Fonction lemniscatique

En mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de Weierstrass dont les invariants sont g2 = 1 et g3 = 0.

Exposant critique

Lors d'une transition de phase de deuxième ordre, au voisinage du point critique, les systèmes physiques ont des comportements universels en lois de puissances caractérisées par des exposants critiques. Au point critique, un fluide est caractérisé par une température critique et une densité critique . Pour une température légèrement supérieure à (à nombre de particules et volume constants), le système est homogène avec une densité . Pour une température légèrement inférieure à , il y a une séparation de phase entre une phase liquide (de densité ) et une phase gazeuse (de densité ).

Afficher plus

Séances de cours associées (49)

Extrema local des fonctions

Discute des extrema locaux des fonctions dans deux variables autour du point (0,0).

Règle de l'hôpital de Bernoulli MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 6) : Etudes des fonctions, développements limités

Couvre la déclaration de la règle de l'hôpital de Bernoulli et son application.

Techniques intégrées: Intégration par pièces

Explore l'intégration par la technique des pièces à travers des exemples, montrant son application étape par étape à des fonctions comme cos(x) et sin(x.

Minimisation des fonctions

Explore les techniques pour minimiser les fonctions et trouver des points critiques.

Taylor Polynomial: Commande 2

Présente la solution pour trouver le polynôme de Taylor du second ordre d'une fonction.

Afficher plus

Concepts associés (32)

Fonction elliptique de Jacobi

Fonction trigonométrique

Fonction thêta

Fonction lemniscatique

Exposant critique

Afficher plus