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Séance de cours

Algèbre linéaire: Integers

Dans cours

MATH-115(a): Algèbre linéaire avancée II - diagonalisation

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet. ...

Description

Cette séance de cours couvre le sujet de l'algèbre linéaire sur les entiers, en se concentrant sur la recherche de solutions aux équations de la forme A.x b où A est une matrice et x, b sont des vecteurs. L'instructeur explique le concept de la forme normale Hermite et démontre des opérations élémentaires de rangée telles que la multiplication d'une colonne par une constante et l'échange de deux colonnes. La séance de cours traite également du caractère unique des solutions et fournit des exemples pour illustrer les concepts théoriques.

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Enseignant·e

Friedrich Eisenbrand

Friedrich Eisenbrand's main research interests lie in the field of discrete optimization, in particular in algorithms and complexity, integer programming, geometry of numbers, and applied optimization. He is best known for his work on efficient algorithms for integer programming in fixed dimension and the theory of cutting planes, which are an important tool to solve large scale industrial optimization problems in practice. Before joining EPFL in March 2008, Friedrich Eisenbrand was a full professor of mathematics at the University of Paderborn. Friedrich received the Heinz Maier-Leibnitz award of the German Research Foundation (DFG) in 2004 and the Otto Hahn medal of the Max Planck Society in 2001.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Matrice élémentaire

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité. Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes : permuter deux lignes entre elles ; ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ; multiplier une ligne par un scalaire non nul. Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.

Algèbre linéaire

vignette|R3 est un espace vectoriel de dimension 3. Droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d'équations linéaires. L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.

Entier quadratique

En mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale : elle correspond à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients seulement rationnels. Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques.

Matrice échelonnée

En algèbre linéaire, une matrice est dite échelonnée en lignes si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente strictement ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste éventuellement plus que des zéros. Voici un exemple de matrice échelonnée (les désignent des coefficients quelconques, les des pivots, coefficients non nuls) : Une matrice échelonnée est dite matrice échelonnée réduite, ou matrice canonique en lignes, si les pivots valent 1 et si les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls.

Gaussian elimination

In mathematics, Gaussian elimination, also known as row reduction, is an algorithm for solving systems of linear equations. It consists of a sequence of operations performed on the corresponding matrix of coefficients. This method can also be used to compute the rank of a matrix, the determinant of a square matrix, and the inverse of an invertible matrix. The method is named after Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

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Explique l'indépendance linéaire, la base et le rang matriciel avec des exemples et des exercices.

Valeurs propres et vecteurs propres en 3D

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Algèbre linéaire : opérations et applications

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Explique les matrices de rangées et de rangées réduites et leur rôle dans la simplification de la résolution du système.

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