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Fonctions : Continuité et Dérivabilité

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Description

Cette séance de cours poursuit la discussion sur les fonctions continues en se concentrant sur les intervalles fermés, conduisant au théorème de la valeur intermédiaire. Il explore également le concept de dérivabilité à un point et introduit des fonctions dérivables sur des intervalles.

Dans MOOCs (2)

Analyse I (partie 5) : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée

Nous arrivons au cœur du sujet de notre discussion sur les fonctions : le concept de la dérivabilité d'une fonction. Nous nous intéressons en particulier à la question de la continuité des fonctions dérivées. Nous commençons le chapitre en complétant l'étude sur les fonctions continues par l'étude de leurs propriétés sur des intervalles fermés. Ceci nous permet de définir le maximum et le minimum de fonctions continues. Nous continuons en définissant la méthode de la bissection, et en la démontrant. L'in

Analyse I

Ce cours traite de : Partie 1 : Prélude, notions de base, les nombres réels. Partie 2 : Introduction aux nombres complexes. Partie 3 : Suites de nombres réels I et II. Partie 4 : Limite d'une fonction, fonctions continues. Partie 5 : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée. Partie 6 : Etudes des fonctions, développements limités. Partie 7 : Intégrales indéfinies et définies, intégration (chapitres choisis).

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Concepts associés (17)

Continuous function

In mathematics, a continuous function is a function such that a continuous variation (that is a change without jump) of the argument induces a continuous variation of the value of the function. This means that there are no abrupt changes in value, known as discontinuities. More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument. A discontinuous function is a function that is .

Intervalle (mathématiques)

En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble ordonné de points compris entre deux bornes. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir à la notion topologique de boule d'un espace métrique. Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

Fermé (topologie)

En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert. Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide). Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte — l'intersection de la famille vide).

Intervalle unité

En mathématique, l'intervalle unité est l'intervalle fermé [0,1], c'est-à-dire, l'ensemble de tous les nombres réels qui sont supérieurs ou égaux à 0 et inférieurs ou égaux à 1. Il est souvent noté I. Dans la littérature, le terme "intervalle unité" est parfois appliqué à d'autres intervalles : (0,1], [0,1), et (0,1). Cependant, la notation I est généralement réservée à l'intervalle fermé [0,1]. L'intervalle unité est un espace métrique complet.

Théorème des valeurs intermédiaires

vignette|Illustration du théorème des valeurs intermédiaires : si f est une fonction continue sur l'intervalle [a ; b], alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) au moins une fois. Ici la valeur s est prise trois fois. En mathématiques, le théorème des valeurs intermédiaires (abrégé en TVI), parfois appelé théorème de Bolzano, est un résultat important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.

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Séances de cours associées (38)

Théorème de la valeur intermédiaire MOOC: Analyse I (partie 5) : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée MOOC: Analyse I

Explique le théorème de valeur intermédiaire pour les fonctions continues à intervalles fermés.

Théorème fondamental du calcul intégral

Explore le Théorème fondamental de l'analyse pour des fonctions continues à intervalles fermés, illustré par des exemples comme l'intégration du cos(x).

Théorème de la valeur intermédiaire

Couvre le théorème de valeur intermédiaire pour des fonctions continues à intervalles fermés.

Taylor Expansion et fonctions convexes

Explore l'expansion de Taylor, les fonctions convexes et la continuité de Lipschitz avec des exemples illustratifs.

Dérivabilité et valeurs maximales

Couvre le théorème des valeurs intermédiaires et trouve les valeurs maximales et minimales des fonctions à intervalles fermés.

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Concepts associés (17)

Continuous function

Intervalle (mathématiques)

Fermé (topologie)

Intervalle unité

Théorème des valeurs intermédiaires

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