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Séance de cours

Géométrie projective : naissance et fondations

Description

Cette séance de cours présente la naissance de la géométrie projective, explorant la perspective de Desargues et la fondation gnomonique. Il plonge dans l'invention du point de fuite, les rencontres de cônes et de plans en stéréotomie, et les tubes coniques cylindriques.

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Enseignant·e

Bernard Cache

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Concepts associés (31)

Géométrie projective

En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale. Le mathématicien et architecte Girard Desargues fonde la géométrie projective dans son Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan publié en 1639, où il l'utilise pour une théorie unifiée des coniques.

Girard Desargues

Girard Desargues, alias S.G.D.L. (le Sieur Girard Desargues Lyonnois comme il signe lui-même ses écrits) est un géomètre et architecte français né à Lyon le et mort à Lyon en . Considéré comme l’un des fondateurs de la géométrie projective, il en tira une théorie unifiée des coniques. On lui doit le théorème de Desargues sur les triangles en perspective, et aussi le théorème de Desargues sur l’involution. On ne dispose que de documents épars sur la vie de Desargues, et les années antérieures à 1630 sont mal connues.

Théorème de Pascal

droite|200x200px En géométrie projective, le théorème de Pascal est un théorème concernant un hexagone inscrit dans une conique . Étant donné un hexagone d'un plan projectif sur un corps commutatif quelconque, il y a équivalence entre les deux propositions suivantes : Les "côtés" de l'hexagone sont les droites joignant deux points consécutifs de l'hexagone. Si deux côtés opposés sont confondus, leur intersection est une droite.

Théorème de Brianchon

Le théorème de Brianchon s'énonce ainsi : Ce théorème est dû au mathématicien français Charles Julien Brianchon (1783-1864). C'est exactement le dual du théorème de Pascal. Il s'agit dans les deux cas de propriétés projectives des coniques, propriétés que l'on étudie sans équations, sans angles ni distances, uniquement avec les alignements de points et les intersections de droites. Comme pour le théorème de Pascal, il existe des dégénérations du théorème de Brianchon : en faisant coïncider deux tangentes successives, leur point de jonction devient un point de tangence de la conique.

Division harmonique

En géométrie affine, quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l'égalité des rapports de mesure algébrique indiquée ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures géométriques, par exemple le quadrilatère complet. C'est plus fondamentalement une notion de géométrie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut –1.

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