Induction structurelleEn mathématiques et davantage en informatique, la définition récursive ou induction structurelle est un procédé de définition conjointe d'un type (classe ou ensemble) et d'objets (éléments) qui le compose au moyen de règles de construction (constructeurs) qui agencent ou structurent ces objets. L'on peut ainsi définir des nombres, des listes, des arbres, des relations, et plus généralement, toute structure mathématique (langage, système, ...). En permettant par le même principe de définir un prédicat total i.
Définition par récurrencevignette|4 étapes de la construction d'un flocon de Koch. Comme beaucoup d'autres fractales, cette courbe est définie par récurrence. En mathématiques, on parle de définition par récurrence pour une suite, c'est-à-dire une fonction définie sur les entiers positifs et à valeurs dans un ensemble donné. Une fonction est définie par récurrence quand, pour définir la valeur de la fonction en un entier donné, on utilise les valeurs de cette même fonction pour des entiers strictement inférieurs.
Calcul des propositionsLe calcul des propositions ou calcul propositionnel, (ou encore logique des propositions) fait partie de la logique mathématique. Il a pour objet l'étude des relations logiques entre « propositions » et définit les lois formelles selon lesquelles les propositions complexes sont formées en assemblant des propositions simples au moyen des connecteurs logiques et celles-ci sont enchaînées pour produire des raisonnements valides. Il est un des systèmes formels, piliers de la logique mathématique dont il aide à la formulation des concepts.
Récurrence transfinieEn mathématiques, on parle de récurrence transfinie ou de récursion transfinie pour deux principes reliés mais distincts. Les définitions par récursion transfinie — permettent de construire des objets infinis, et généralisent les définitions de suite par récurrence sur l'ensemble N des entiers naturels en considérant des familles indexées par un ordinal infini quelconque, au lieu de se borner au plus petit d'entre eux qu'est N, appelé ω en tant que nombre ordinal.
Proposition (philosophie)Une proposition est en philosophie ce qui dans un énoncé est susceptible d'être conservé lors d'une traduction et de recevoir une valeur de vérité, c'est-à-dire d'être vrai ou faux. Un exemple courant pour désigner ce qu'est une proposition par rapport à un énoncé ou à une phrase est de comparer les deux énoncés ou phrases suivantes : « Il pleut. » « It's raining. » Ces deux énoncés ou phrases ont la même proposition, à savoir qu'il pleut. Un autre exemple courant dans le domaine est de comparer « La neige est blanche » et « Snow is white ».
Variable propositionnelleUne variable est représentée par un symbole qui définit une quantité qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un ensemble de valeurs. En logique mathématique, une variable propositionnelle est un symbole qui désigne une proposition dans le calcul propositionnel, c'est une variable qui peut être remplacée par une proposition vraie ou fausse ou par une formule qui est elle-même composée de variables propositionnelles et donc qui peut prendre parfois la valeur vraie et parfois la valeur faux.
RécursivitéLa récursivité est une démarche qui fait référence à l'objet même de la démarche à un moment du processus. En d'autres termes, c'est une démarche dont la description mène à la répétition d'une même règle.
Family of setsIn set theory and related branches of mathematics, a collection of subsets of a given set is called a family of subsets of , or a family of sets over More generally, a collection of any sets whatsoever is called a family of sets, set family, or a set system. A family of sets may be defined as a function from a set , known as the index set, to , in which case the sets of the family are indexed by members of .
Logique modaleEn logique mathématique, une logique modale est un type de logique formelle qui étend la logique propositionnelle, la logique du premier ordre ou la logique d'ordre supérieur avec des modalités. Une modalité spécifie des . Par exemple, une proposition comme « il pleut » peut être précédée d'une modalité : Il est nécessaire qu'''il pleuve ; Demain, il pleut ; Christophe Colomb croit quil pleut ; Il est démontré qu'''il pleut ; Il est obligatoire quil pleuve.
Démonstration (logique et mathématiques)vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.
Ensembles disjointsvignette|Trois ensembles disjoints En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, et sont deux ensembles disjoints. De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si (Dans le cas contraire, on dit que A et B « se rencontrent ».) Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.
Formule logiqueEn logique on dit d’une suite finie de lettres qu’elle est une formule, ou parfois formule bien formée, d'un langage logique donné lorsqu’elle peut être construite en appliquant une combinaison des règles de la grammaire formelle associée, on parle de la syntaxe du langage. Informellement les formules sont les assemblages de lettres auxquels il est possible de donner une signification en termes de valeur de vérité (Vrai, ou Faux). Les formules logiques sont l'équivalent des phrases du langage naturel.
LogiqueLa logique — du grec , qui est un terme dérivé de signifiant à la fois « raison », « langage » et « raisonnement » — est, dans une première approche, l'étude de l'inférence, c'est-à-dire des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte. Le terme aurait été utilisé pour la première fois par Xénocrate. La logique antique se décompose d'abord en dialectique et rhétorique. Elle est depuis l'Antiquité l'une des grandes disciplines de la philosophie, avec l'éthique (philosophie morale) et la physique (science de la nature).
ConcaténationLe terme concaténation (substantif féminin), du latin cum (« avec ») et catena (« chaîne, liaison »), désigne l'action de mettre bout à bout au moins deux chaînes de caractères ou de péricopes. Formellement, dans le contexte théorique des langages formels : on se donne un ensemble fini Σ, et on appelle l'ensemble des séquences d'éléments de Σ ; la concaténation est alors la loi de composition interne sur qui aux séquences et , où m et n sont des entiers naturels, associe la séquence .
String literalA string literal or anonymous string is a literal for a string value in the source code of a computer program. Modern programming languages commonly use a quoted sequence of characters, formally "bracketed delimiters", as in x = "foo", where "foo" is a string literal with value foo. Methods such as escape sequences can be used to avoid the problem of delimiter collision (issues with brackets) and allow the delimiters to be embedded in a string. There are many alternate notations for specifying string literals especially in complicated cases.
Catégorie des ensemblesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.
Fonction récursive primitiveEn théorie de la calculabilité, une fonction récursive primitive est une fonction construite à partir de la fonction nulle, de la fonction successeur, des fonctions projections et des schémas de récursion primitive (ou bornée) et de composition. Ces fonctions constituent un sous-ensemble strict des fonctions récursives. Elles ont été initialement analysées par la mathématicienne Rózsa Péter. On s'intéresse aux fonctions définies sur l'ensemble des entiers naturels, ou sur les ensembles des -uplets d'entiers naturels, et à valeurs dans .
String interpolationIn computer programming, string interpolation (or variable interpolation, variable substitution, or variable expansion) is the process of evaluating a string literal containing one or more placeholders, yielding a result in which the placeholders are replaced with their corresponding values. It is a form of simple template processing or, in formal terms, a form of quasi-quotation (or logic substitution interpretation). The placeholder may be a variable name, or in some languages an arbitrary expression, in either case evaluated in the current context.
Ensemble flouLa théorie des sous-ensembles flous est une théorie mathématique du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets et sert de fondement à la logique floue. Les sous-ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation.
Fonction récursiveEn informatique et en mathématiques, le terme fonction récursive ou fonction calculable désigne la classe de fonctions dont les valeurs peuvent être calculées à partir de leurs paramètres par un processus mécanique fini. En fait, cela fait référence à deux concepts liés, mais distincts. En théorie de la calculabilité, la classe des fonctions récursives est une classe plus générale que celle des fonctions récursives primitives, mais plus restreinte que celle des fonctions semi-calculables (ou partielles récursives).
