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Séance de cours

Catégorie du modèle : Définition et propriétés élémentaires

Dans cours

MATH-436: Topology V.a - Homotopical algebra

This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous examples of model categories and their applications in ...

Description

Cette séance de cours introduit la définition d'une catégorie modèle, une catégorie avec une structure supplémentaire permettant la définition de l'homotopie des morphismes. Il couvre les axiomes dune catégorie de modèle, y compris laxiome 2-sur-3, laxiome de rétraction, laxiome de levage, et laxiome de factorisation. La séance de cours traite également des propriétés des fibrations, des cofibrations, des faibles équivalences, des fibrations acycliques, des cofibrations acycliques, des objets cofibrants et fibrants et des objets bifibrants.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (32)

Catégorie de modèles

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.

Homotopie

En mathématiques, une homotopie est une déformation continue entre deux applications, notamment entre les chemins à extrémités fixées et en particulier les lacets. Cette notion topologique permet de définir des invariants algébriques utilisés pour classifier les applications continues entre espaces topologiques dans le cadre de la topologie algébrique. L’homotopie induit une relation d'équivalence sur les applications continues, compatible avec la composition, qui mène à la définition de l’équivalence d'homotopie entre espaces topologiques.

Homotopy category

In mathematics, the homotopy category is a built from the category of topological spaces which in a sense identifies two spaces that have the same shape. The phrase is in fact used for two different (but related) categories, as discussed below. More generally, instead of starting with the category of topological spaces, one may start with any and define its associated homotopy category, with a construction introduced by Quillen in 1967. In this way, homotopy theory can be applied to many other categories in geometry and algebra.

Weak equivalence (homotopy theory)

In mathematics, a weak equivalence is a notion from homotopy theory that in some sense identifies objects that have the same "shape". This notion is formalized in the axiomatic definition of a . A model category is a with classes of morphisms called weak equivalences, fibrations, and cofibrations, satisfying several axioms. The associated of a model category has the same objects, but the morphisms are changed in order to make the weak equivalences into isomorphisms.

Cofibration

En mathématiques, une cofibration est une application qui satisfait la propriété d'extension des homotopies, ce qui est le cas pour les inclusions de CW-complexes. Le quotient de l'espace but par l'espace source est alors appelé cofibre de l'application. L'inclusion dans le cylindre d'application permet de remplacer une application continue entre deux espaces topologiques par une cofibration homotopiquement équivalente. La cofibre est alors appelée cofibre homotopique de l'application initiale.

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Séances de cours associées (38)

Propriétés élémentaires des catégories de modèles

Couvre les propriétés élémentaires des catégories de modèles, en mettant laccent sur la dualité entre les fibrations et les cofibrations.

Théorie de l'homotopie: cylindres et objets de chemin

Couvre les cylindres, les objets de chemin et l'homotopie dans les catégories de modèles.

Le lemme à tête blanche: équivalence d'homotopie dans les catégories de modèles

Explore le lemme de Whitehead, montrant quand un morphisme est une faible équivalence.

Homotopie Catégorie d'une catégorie modèle

Introduit la catégorie d'homotopie d'une catégorie modèle avec des équivalences faibles inversées et des équivalences d'homotopie uniques.

Structure du modèle Serre en haut

Explore la structure du modèle Serre sur Top, en mettant l'accent sur l'homotopie droite et gauche.

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Catégorie de modèles

Homotopie

Homotopy category

Weak equivalence (homotopy theory)

Cofibration

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