Simply typed lambda calculusThe simply typed lambda calculus (), a form of type theory, is a typed interpretation of the lambda calculus with only one type constructor () that builds function types. It is the canonical and simplest example of a typed lambda calculus. The simply typed lambda calculus was originally introduced by Alonzo Church in 1940 as an attempt to avoid paradoxical use of the untyped lambda calculus. The term simple type is also used to refer extensions of the simply typed lambda calculus such as products, coproducts or natural numbers (System T) or even full recursion (like PCF).
Typed lambda calculusA typed lambda calculus is a typed formalism that uses the lambda-symbol () to denote anonymous function abstraction. In this context, types are usually objects of a syntactic nature that are assigned to lambda terms; the exact nature of a type depends on the calculus considered (see kinds below). From a certain point of view, typed lambda calculi can be seen as refinements of the untyped lambda calculus, but from another point of view, they can also be considered the more fundamental theory and untyped lambda calculus a special case with only one type.
Lambda-calculLe lambda-calcul (ou λ-calcul) est un système formel inventé par Alonzo Church dans les années 1930, qui fonde les concepts de fonction et d'application. On y manipule des expressions appelées λ-expressions, où la lettre grecque λ est utilisée pour lier une variable. Par exemple, si M est une λ-expression, λx.M est aussi une λ-expression et représente la fonction qui à x associe M. Le λ-calcul a été le premier formalisme pour définir et caractériser les fonctions récursives : il a donc une grande importance dans la théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de Turing et du modèle de Herbrand-Gödel.
Lambda cubethumb|Le lambda-cube. Initialement proposé par Henk Barendregt, le -cube permet de visualiser les différentes dimensions pour lesquelles le calcul des constructions apporte une généralisation par rapport au lambda-calcul simplement typé où un terme ne peut dépendre que d'un autre terme. Chaque axe représente une nouvelle forme d'abstraction : Terme dépendant de type : le polymorphisme ; Type dépendant de type : présence d'opérateurs de types ; Type dépendant de terme. Catégorie:Calculabilité Catégorie:Théor
Conditionnels contrefactuelsLes conditionnels contrefactuels (counterfactual conditionals en anglais) sont des propositions utilisées pour exprimer une situation hypothétique dans le passé et de leur conséquences imaginaires. Cette construction grammaticale est utilisée pour spéculer sur des situations qui n'ont pas réellement eu lieu, mais qui auraient pu se produire si les circonstances avaient été différentes. Le conditionnel contrefactuel se présente généralement sous la forme « Si A était le cas, alors B serait le cas ».
Calcul des constructionsLe calcul des constructions (CoC de l'anglais calculus of constructions) est un lambda-calcul typé d'ordre supérieur dans lequel les types sont des valeurs de première classe. Il est par conséquent possible, dans le CoC, de définir des fonctions qui vont des entiers vers les entiers, mais aussi des entiers vers les types ou des types vers les types. Le CoC est fortement normalisant, bien que, d'après le théorème d'incomplétude de Gödel, il soit impossible de démontrer cette propriété dans le CoC lui-même, puisqu'elle implique sa cohérence.
Logique combinatoireEn logique mathématique, la logique combinatoire est une théorie logique introduite par Moses Schönfinkel en 1920 lors d'une conférence et développée dès 1929 par Haskell Brooks Curry pour supprimer le besoin de variables en mathématiques, pour formaliser rigoureusement la notion de fonction et pour minimiser le nombre d'opérateurs nécessaires pour définir le calcul des prédicats à la suite de Henry M. Sheffer. Plus récemment, elle a été utilisée en informatique comme modèle théorique de calcul et comme base pour la conception de langages de programmation fonctionnels.
Implication (logique)En logique mathématique, l'implication est l'un des connecteurs binaires du langage du calcul des propositions, généralement représenté par le symbole « ⇒ » et se lisant « ... implique ... », « ... seulement si ... » ou, de façon équivalente, « si ..., alors ... » comme dans la phrase « s'il pleut, alors il y a des nuages ». L'implication admet des interprétations différentes selon les différents systèmes logiques (logique classique, modale, intuitionniste, etc.).
Indicative conditionalIn natural languages, an indicative conditional is a conditional sentence such as "If Leona is at home, she isn't in Paris", whose grammatical form restricts it to discussing what could be true. Indicatives are typically defined in opposition to counterfactual conditionals, which have extra grammatical marking which allows them to discuss eventualities which are no longer possible. Indicatives are a major topic of research in philosophy of language, philosophical logic, and linguistics.
Fonction d'ordre supérieurEn mathématiques et en informatique, les fonctions d'ordre supérieur sont des fonctions qui ont au moins une des propriétés suivantes : elles prennent une ou plusieurs fonctions en entrée ; elles renvoient une fonction. En mathématiques, on les appelle des opérateurs ou des fonctionnelles. L'opérateur de dérivation en calcul infinitésimal est un exemple classique, car elle associe une fonction (la dérivée) à une autre fonction (la fonction que l'on dérive). Dans le lambda-calcul non typé, toutes les fonctions sont d'ordre supérieur.
Lambda liftingLambda lifting is a meta-process that restructures a computer program so that functions are defined independently of each other in a global scope. An individual "lift" transforms a local function into a global function. It is a two step process, consisting of; Eliminating free variables in the function by adding parameters. Moving functions from a restricted scope to broader or global scope. The term "lambda lifting" was first introduced by Thomas Johnsson around 1982 and was historically considered as a mechanism for implementing functional programming languages.
Implication stricteIn logic, a strict conditional (symbol: , or ⥽) is a conditional governed by a modal operator, that is, a logical connective of modal logic. It is logically equivalent to the material conditional of classical logic, combined with the necessity operator from modal logic. For any two propositions p and q, the formula p → q says that p materially implies q while says that p strictly implies q. Strict conditionals are the result of Clarence Irving Lewis's attempt to find a conditional for logic that can adequately express indicative conditionals in natural language.
Phrase conditionnelleEn syntaxe, on appelle phrase conditionnelle une phrase complexe contenant au moins une proposition subordonnée conditionnelle et sa proposition principale. La proposition conditionnelle est directement subordonnée au verbe de la principale. Cette subordonnée est en général définie comme exprimant la condition du remplissement ou du non-remplissement de laquelle dépend la réalisation ou non du procès du verbe principal. Certains auteurs ajoutent à cela que la proposition conditionnelle remplit la fonction d'un complément circonstanciel conditionnel.
Système FLe est un formalisme logique qui permet d'exprimer de façon très riche et très rigoureuse des fonctions et d'y démontrer formellement des propriétés difficiles. Plus précisément, le (également connu sous le nom de lambda-calcul polymorphe ou de lambda-calcul du second ordre) est une extension du lambda-calcul simplement typé introduite indépendamment par le logicien Jean-Yves Girard et par l'informaticien John C. Reynolds. Ce système se distingue du lambda-calcul simplement typé par l'existence d'une quantification universelle sur les types qui permet d'exprimer du polymorphisme.
Logique d'ordre supérieurLes logiques d'ordre supérieur (en anglais, higher-order logic ou HOL) sont des logiques formelles permettant d'utiliser des variables qui réfèrent à des fonctions ou à des prédicats. Elles étendent le calcul des prédicats. Cela revient à dire que l'on considère les fonctions et prédicats comme des objets de base à part entière, au même titre que, par exemple, un nombre entier. On s'autorisera ainsi, d'une part, à quantifier les prédicats et les fonctions et, d'autre part, à donner des fonctions ou des prédicats en arguments à d'autres fonctions ou prédicats.
Church encodingIn mathematics, Church encoding is a means of representing data and operators in the lambda calculus. The Church numerals are a representation of the natural numbers using lambda notation. The method is named for Alonzo Church, who first encoded data in the lambda calculus this way. Terms that are usually considered primitive in other notations (such as integers, booleans, pairs, lists, and tagged unions) are mapped to higher-order functions under Church encoding.
Fold (higher-order function)In functional programming, fold (also termed reduce, accumulate, aggregate, compress, or inject) refers to a family of higher-order functions that analyze a recursive data structure and through use of a given combining operation, recombine the results of recursively processing its constituent parts, building up a return value. Typically, a fold is presented with a combining function, a top node of a data structure, and possibly some default values to be used under certain conditions.
Higher-order abstract syntaxIn computer science, higher-order abstract syntax (abbreviated HOAS) is a technique for the representation of abstract syntax trees for languages with variable binders. An abstract syntax is abstract because it is represented by mathematical objects that have certain structure by their very nature. For instance, in first-order abstract syntax (FOAS) trees, as commonly used in compilers, the tree structure implies the subexpression relation, meaning that no parentheses are required to disambiguate programs (as they are, in the concrete syntax).
Probabilité conditionnellevignette|Illustration des probabilités conditionnelles avec un diagramme d'Euler. On a la probabilité a priori et les probabilités conditionnelles , et .|320x320px En théorie des probabilités, une probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement a eu lieu. Par exemple, si une carte d'un jeu est tirée au hasard, on estime qu'il y a une chance sur quatre d'obtenir un cœur ; mais si on aperçoit un reflet rouge sur la table, il y a maintenant une chance sur deux d'obtenir un cœur.
Conditional probability distributionIn probability theory and statistics, given two jointly distributed random variables and , the conditional probability distribution of given is the probability distribution of when is known to be a particular value; in some cases the conditional probabilities may be expressed as functions containing the unspecified value of as a parameter. When both and are categorical variables, a conditional probability table is typically used to represent the conditional probability.
