Formule de fraction continue d'Euler

En théorie analytique des nombres, la formule de fraction continue d'Euler est une identité reliant les séries aux fractions continues généralisées, publiée par Leonhard Euler en 1748 et utile dans l'étude du problème de convergence général pour les fractions continues à coefficients complexes. Euler a établi une identité dont la transcription est, en notation de Pringsheim : cette égalité signifiant seulement que les sommes partielles de la série de gauche sont égales aux réduites de la fraction continue de droite, autrement dit : Il trouve simplement cette formule par une analyse rétrograde des relations fondamentales sur les réduites. Par changement de notations et passage à la limite, on en déduit : pour toutes suites de nombres complexes y non nuls et x tels que la série de gauche converge. Ceci permet donc, après avoir mis une série convergente sous la forme adéquate, de la transformer en fraction continue. De plus, si les complexes x et y sont des fonctions d'une variable z et si la convergence de la série est uniforme par rapport à z, il en est naturellement de même pour la convergence de la fraction continue. Cette formule a de nombreux corollaires, comme : en prenant tous les y égaux à 1 : en posant x = 1, y = a et pour j > 0, x = az et y = aa...a : en posant x = 1, y = u et pour j > 0, x = uZ et y = uu...u : L'exponentielle complexe est une fonction entière donc son développement en série entière converge uniformément sur toute partie bornée du plan complexe : Il en est donc de même pour la fraction continue (obtenue par le deuxième corollaire ci-dessus) : On en déduit par exemple : donc la dernière égalité résultant d'une transformation usuelle. Le développement en série entière de la détermination principale du logarithme complexe appliqué à 1 + z est Il converge uniformément quand z parcourt le disque unité fermé privé d'un voisinage arbitrairement petit de −1.