Nombre cardinal

vignette|Le nombre cardinal des deux ensembles X et Y est 4 En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s’appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En théorie des ensembles, le nombre cardinal ou cardinal d'un ensemble E (fini ou infini) est, intuitivement, le « nombre » d'éléments lui appartenant. On peut définir formellement ce « nombre » comme la classe de tous les ensembles équipotents à E (c'est-à-dire en bijection avec E), ou, de manière fort différente, comme le plus petit ordinal équipotent à E. Les saisons, les points cardinaux, les fils Aymon, forment trois ensembles partageant une certaine qualité, qu'ils ne partagent pas avec l'ensemble des doigts de la main : on peut mettre en évidence cette qualité en faisant correspondre un à un les éléments respectifs de ces ensembles et dire qu'ils sont de cardinal « quatre ». « Quatre » serait alors la signature de la propriété en question. De la même façon l'ensemble des doigts de la main peut être mis en correspondance, élément à élément, avec l'ensemble des mots {« Amérique », « Afrique », « Antarctique », « Océanie », « Eurasie »} ; ces deux ensembles sont en un certain sens équivalents : on dit qu'ils sont en bijection ou qu'ils sont équipotents. Il n'y a en revanche aucun moyen de mettre en correspondance « un à un » chaque point cardinal avec chaque doigt de la main (il n'existe même pas d'injection du second ensemble dans le premier) ; on n'a donc pas affaire à des ensembles équipotents. Il existe cependant une injection du premier ensemble dans le second. On dira que le premier est subpotent au second. La subpotence est une relation de préordre dans la classe des ensembles. Principe des tiroirs Ce que l'on appelle « cardinal » sera en quelque sorte la mesure de la « puissance » d'un ensemble. Un ensemble sera dit fini de cardinal n s'il est équipotent à l'ensemble de nombres entiers {1, 2, ... , n} ou de façon équivalente à l'ensemble {0, 1, 2, ... , n – 1} qui dans la notation de von Neumann est identifié à n lui-même.