Intérieur (topologie)

vignette|Le point x est dans l'intérieur de S car il y a une boule centrée en x entièrement incluse dans S. Le point y n'est pas dans l'intérieur de S. En mathématiques, l'intérieur (abrégé en int) est une notion de topologie appliquée à une partie d'un espace topologique. Soit X un espace topologique et A une partie de X. On appelle intérieur de A le plus grand ouvert de X inclus dans A. Il existe : c'est la réunion de tous les ouverts inclus dans A. Il se note soit à l'aide d'un petit cercle suscrit, soit par une notation préfixe avec l'abréviation int : On définit aussi et de façon différente l'intérieur d'une variété à bord. Soient X un espace topologique et A une partie de X. Les éléments de l'intérieur de A sont appelés les « points intérieurs à A ». Les points non intérieurs à A sont les points adhérents à X\A (le complémentaire de A dans X). Un point x de X est dit « extérieur à A » s'il est intérieur à X\A, c'est-à-dire s'il n'est pas adhérent à A. Dans un espace métrique , pour qu'un point soit extérieur à une partie non vide , il faut et il suffit que sa distance à soit non nulle. Une partie est ouverte si et seulement si elle est égale à son intérieur. Idempotence : l'intérieur de l'intérieur est égal à l'intérieur. Croissance pour l'inclusion : si A est une partie de B alors int(A) est une partie de int(B). Le complémentaire de l'intérieur est égal à l'adhérence du complémentaire. Compatibilité avec les produits finis : si A ⊂ X et B ⊂ Y alors, l'intérieur de A×B dans l'espace produit X×Y est int(A)×int(B). Si U est un sous-espace de X (muni de la topologie induite) et F une partie de X, l'intérieur de F ∩ U dans ce sous-espace contient int(F) ∩ U (parfois strictement, comme dans l'exemple et F = U = {0}). Il lui est égal si U est un ouvert de X. L'intérieur d'une intersection est incluse dans l'intersection des intérieurs mais l'inclusion peut être stricte (pour une intersection finie, on a cependant égalité). Une union d'intérieurs est incluse dans l'intérieur de l'union mais l'inclusion peut être stricte, même pour une union finie.