Diviseur de zéro

En mathématiques, dans un anneau, un diviseur de zéro est un élément non nul dont le produit par un certain élément non nul est égal à zéro. Soient un anneau et tel que , où est l'élément neutre pour la loi . On dit que est un diviseur de zéro à gauche dans si On dit que est un diviseur de zéro à droite dans si On dit que est un diviseur de zéro dans si est un diviseur de zéro à gauche dans ou un diviseur de zéro à droite dans . Un élément de est dit régulier s'il n'est ni nul, ni diviseur de zéro. Un diviseur de zéro ne peut pas être inversible ; en particulier, un corps commutatif (ou même un corps gauche) ne contient pas de diviseur de zéro. En effet, soit un élément d'un anneau diviseur de zéro. On suppose que est inversible. Alors par définition il existe non nul tel que , et en composant par à gauche il vient , contradiction. anneau intègre Un anneau commutatif est dit intègre s'il n'est pas réduit à zéro et n'admet aucun diviseur de zéro. L'anneau Z des entiers relatifs est intègre, ainsi que le corps commutatif des nombres rationnels, ou réels, ou complexes (tout corps de manière générale). Dans l'anneau Z/6Z, la classe de 4 est un diviseur de zéro, car 4 × 3 est congru à 0 modulo 6, alors que 3 et 4 ne sont pas congrus à 0 modulo 6. Plus généralement, dans l'anneau Z/nZ pour n > 0, comme dans tout anneau fini, tout élément régulier est inversible donc les diviseurs de zéro sont exactement les éléments non nuls et non inversibles. Par conséquent (d'après le théorème de Bachet-Bézout) ce sont les classes modulo n des entiers relatifs qui ne sont ni divisibles par n, ni premiers avec n. L’anneau des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes réelles contient des diviseurs de zéro. Par exemple, la matrice est un diviseur de zéro, en effet elle est non nulle, et nous avons Plus généralement les diviseurs de zéro à droite dans une algèbre de matrices à coefficients dans un corps sont les matrices non surjectives et les diviseurs à gauche les matrices non injectives.