Ajustement affine

vignette|Nuage de points et sa droite d'ajustement En mathématiques, un ajustement affine est la détermination d’une droite approchant au mieux un nuage de points dans le plan. Il est utilisé notamment en analyse de données pour évaluer la pertinence d’une relation affine entre deux variables statistiques, et pour estimer les coefficients d’une telle relation. Il permet aussi de produire une droite de tendance pour formuler des prévisions sur un comportement futur proche ou une interpolation entre deux mesures effectuées. L’ajustement affine peut être obtenu par régression linéaire, en particulier par la méthode des moindres carrés, ou par d’autres méthodes reposant par exemple sur une segmentation des valeurs pour utiliser les phénomènes de lissage. Ces méthodes sont plus ou moins adaptées selon le contexte d’obtention des données (mesures expérimentales avec bruit, série chronologique, fonction de répartition empirique, agrégation de résultats partiels...) et les ressources disponibles en temps de calcul ou espace mémoire. Certaines de ces méthodes se généralisent pour plus de deux variables avec la régression linéaire multiple et l’analyse en composantes principales. On note (M (x , y)) le nuage de points que l'on cherche à ajuster par une droite (d) : y = ax + b. Une méthode de régression linéaire consiste à minimiser les résidus y_i − ax_i − b, c’est-à-dire la distance de chaque point M_i à la droite d dans la direction de l’axe des ordonnées. Mais comme les points ne sont en général pas déjà alignés, il n’est pas possible de minimiser simultanément toutes ces distances. On distingue donc plusieurs méthodes selon la façon d’agréger ces distances. Méthode des moindres carrés Cette méthode consiste à minimiser la somme des carrés des résidus, définie par : Quelle que soit la répartition des points, il existe une unique droite qui minimise S, dont les coefficients s’écrivent où est la moyenne des abscisses est la moyenne des ordonnées : V(x) est la variance des abscisses et Cov(x,y) est la covariance des couples de coordonnées L’expression de l’ordonnée à l’origine b montre que la droite ainsi définie passe par l’isobarycentre des points, de coordonnées (, ).