Surface (géométrie analytique)

En géométrie analytique, on représente les surfaces, c'est-à-dire les ensembles de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l'aide de deux coordonnées réelles, par des relations entre les coordonnées de leurs points, qu'on appelle équations de la surface ou par des représentations paramétriques. Cet article étudie les propriétés des surfaces que cette approche (appelée souvent extrinsèque) permet de décrire. Pour des résultats plus approfondis, voir Géométrie différentielle des surfaces. On suppose dans tout cet article qu'on a muni l'espace d'un repère, dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Une nappe paramétrée est la donnée de trois fonctions de deux variables (définies sur un disque ouvert, un rectangle ou plus généralement un ouvert de ) qui représentent les coordonnées d'un point M par rapport à un repère On a envie de dire qu'une surface est l'image d'une nappe paramétrée. Mais quelques précautions sont nécessaires : si on prend f(u,v) = u, g(u,v) = h(u,v) = 0 on a une nappe paramétrée dont l'image est une droite. Dans le cas où est injective, tout point M de S admet un couple unique (u , v) pour antécédent. Un cas particulier important de nappe paramétrée est celui du graphe d'une fonction de deux variables : lorsque x = u, y = v, z = h(u , v). On obtient alors une surface représentée par l’équation cartésienne z = h(x , y). Étant donné une fonction H de trois variables, l'ensemble des points M dont les coordonnées, dans le repère que l'on s'est donné vérifient H(x, y, z) = 0 est une surface. Lorsqu'au voisinage d'un point (x, y, z) de S, l'équation H(x, y, z) = 0 peut être résolue en z, on est ramené, dans ce voisinage, à l'équation cartésienne z = h(x , y). C'est le cas quand . Si on se contente des points de vue qui précèdent, on obtient des exemples qu'il vaudrait mieux exclure (cf. la nappe ). De plus passer du paramétrage à une équation ou inversement n'a rien d'évident.