Méthode du gradient biconjugué

En mathématiques, plus spécifiquement en analyse numérique, la méthode du gradient biconjugué est un algorithme permettant de résoudre un système d'équations linéaires Contrairement à la méthode du gradient conjugué, cet algorithme ne nécessite pas que la matrice soit auto-adjointe, en revanche, la méthode requiert des multiplications par la matrice adjointe . Choisir , , un préconditionneur régulier (on utilise fréquemment ) et ; for do ( et sont le résidus); . La méthode est numériquement instable, mais on y remédie par la , et elle reste très importante du point de vue théorique : on définit l'itération par et () en utilisant les projections suivantes : Avec et . On peut itérer les projections elles-mêmes, comme Les nouvelles directions de descente et sont alors orthogonales aux résidus : et , qui satisfont aux mêmes et (). La méthode du gradient biconjugué propose alors le choix suivant : et . Ce choix particulier permet alors d'éviter une évaluation directe de et , et donc augmenter la vitesse d'exécution de l'algorithme. Si est auto-adjointe, et , donc , , et la méthode du gradient conjugué produit la même suite . En dimensions finies , au plus tard quand : La méthode du gradient biconjugué rend la solution exacte après avoir parcouru tout l'espace et est donc une méthode directe. La suite produite par l'algorithme est : et pour . SI est un polynôme avec , alors . L'algorithme est donc composé de projections sur des sous-espaces de Krylov ; SI est un polynôme avec , alors .