Puissance parfaite

En mathématiques, une puissance parfaite est un entier naturel qui peut être exprimé sous la forme d'un carré ou d'une puissance entière supérieure ou égale à 2 d'un entier lui aussi supérieur ou égal à 2. Plus formellement, n est une puissance parfaite s'il existe des entiers naturels , et tels que . Dans ce cas, n est appelé une puissance k-ième parfaite . Si k = 2 ou k = 3, n est appelé un carré parfait ou un cube parfait. Parfois, 0 et 1 sont également considérés comme des puissances parfaites (puisque 0k = 0 pour tout k > 0, 1k = 1 pour tout k ). La liste croissante des puissances parfaites (en conservant les répétitions) est donnée par la : La somme des inverses des puissances parfaites (y compris les doublons tels que 3 4 et 9 2, tous deux égaux à 81) est égale à 1 : ce qui peut se montrer comme suit : La liste où l'on a supprimé les répétitions : (parfois 0 et 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... La somme des inverses des puissances parfaites sans répétitions est : où est l'ensemble des puissances parfaites, μ est la fonction de Möbius et ζ la fonction zêta de Riemann ; voir la . Selon Euler, Goldbach a montré (dans une lettre aujourd'hui perdue) que la somme des 1/n − 1 où n décrit l'ensemble des puissances parfaites, excluant 1 et excluant les répétitions, est égale à 1 : On trouvera sur la page : théorème de Goldbach-Euler la "démonstration" originelle de Goldbach, non conforme aux standards actuels de rigueur, ainsi qu'une démonstration se ramenant à la somme des inverses des puissances parfaites avec les répétions données ci-dessus. Déterminer si oui ou non un entier naturel donné n est une puissance parfaite peut être accompli de différentes manières, avec différents niveaux de complexité. L'une des méthodes les plus simples consiste à considérer toutes les valeurs possibles de k sur chacun des diviseurs de n, jusqu'à .