Cône convexe

En algèbre linéaire, un cône convexe est une partie d'un espace vectoriel sur un corps ordonné qui est stable par combinaisons linéaires à coefficients strictement positifs. droite|vignette|Exemple de cône convexe (en bleu clair). À l'intérieur de celui-ci se trouve le cône convexe rouge clair qui est composé des points avec, et étant les points représentés sur la figure. Les courbes en haut à droite indiquent que les régions se prolongent à l'infini. Soit un corps ordonné, comme le corps des rationnels , celui des réels algébriques ou (plus couramment) celui des réels . Un sous-ensemble d'un -espace vectoriel est un cône convexe si appartient à , pour tous scalaires strictement positifs , et tous , dans , ce qui s'écrit de façon plus succincte : pour tous . Cette définition équivaut à : C est à la fois un cône (c'est-à-dire que λC ⊂ C pour tout — pour démontrer ⇒, on écrit λx = (λ/2)x + (λ/2)x) et un convexe (c'est-à-dire qu'il est stable par combinaisons convexes). Plus simplement, un cône C est convexe si et seulement si C + C ⊂ C. L'ensemble vide et les sous-espaces vectoriels de V sont des cônes convexes. Parmi d'autres exemples, on trouve : l'orthant positif (resp. strictement positif ) dans et plus généralement, dans R, l'ensemble des fonctions qui sont positives (resp. strictement positives) sur une partie donnée de X ; l'ensemble ; le cornet ou cône du second ordre ou cône de Lorentz ; les ensembles de matrices symétriques définies positives, semi-définies positives, copositives... Pour tout convexe C de V, l'ensemble de tous les vecteurs λx tels que λ > 0 et x ∈ C est le plus petit cône convexe de V contenant C. L'intersection de deux cônes convexes de V est un cône convexe, mais leur union peut être un cône non convexe. La somme de deux cônes convexes de V est un cône convexe. L' d'un cône convexe par une application linéaire est un cône convexe. En particulier, si C est un cône convexe, il en est de même pour −C ; et C ∩ −C est le plus grand sous-espace vectoriel inclus dans C. Les cônes tangents à un convexe sont convexes.