Code de Golay

En théorie des codes, un code de Golay est un code correcteur d'erreurs pouvant être binaire ou tertiaire, nommé en l'honneur de son inventeur, Marcel Golay. Il y a deux types de codes de Golay binaire. Le code binaire étendu de Golay encode 12 bits de données dans un mot de code de 24 bits de long de telle manière que n'importe quelle erreur sur trois bits puisse être corrigée et n'importe quelle erreur sur quatre bits puisse être détectée. L'autre, le code binaire parfait de Golay, a des mots de code de 23 bits de long et est obtenu à partir du code binaire prolongé de Golay en supprimant une position dans les coordonnées (réciproquement, le code binaire étendu de Golay est obtenu à partir du code binaire parfait de Golay en ajoutant un bit de parité). Code correcteur En termes mathématiques, le code binaire étendu de Golay se compose d'un sous-espace vectoriel à 12 dimensions W de l'espace V=F224 des mots de 24 bits tels que deux éléments distincts de W diffèrent dans au moins huit coordonnées ou, d'une manière équivalente, telles que n'importe quel élément de W différent de zéro possède au moins huit coordonnées différentes de zéro. Les coordonnées des éléments non nuls de W sont appelés mots du code. Dans le code binaire étendu de Golay, tous les mots de code ont un poids de Hamming de 0, 8, 12, 16 ou 24. W est unique à réétiquetage près. Le code binaire de Golay est 3-correcteur parfait. Autrement dit, les boules fermées de rayon 3 autour des mots du code forment une partition de l'espace vectoriel. Code lexicographique : Classer les vecteurs dans V par ordre lexicographique. En commençant par w1 = 0, définir w2, w3, ..., w12 par la règle que wn est le plus petit nombre entier qui diffère de toutes les combinaisons linéaires des éléments précédents dans au moins huit coordonnées. Alors W peut être défini comme l'ensemble généré par w1, ..., w12. Code de résidu quadratique : Considérer l'ensemble N des non-résidus quadratiques (mod 23). C'est un sous-ensemble de 11 éléments du groupe cyclique Z/23Z.