Théorème de Kummer (coefficients binomiaux)

En mathématiques, le théorème de Kummer donne une formule pour calculer le plus grand exposant d'une puissance d'un nombre premier divisant un coefficient binomial donné. En d'autres termes, il donne la valuation p-adique d'un coefficient binomial. Le théorème porte le nom d'Ernst Kummer, qui l'a démontré dans un article de 1852 . Le théorème de Kummer stipule que pour des entiers donnés et un nombre premier , la valuation p-adique est égale au nombre de retenues effectuées lors de l'addition de et en base p. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : Le développement de l'entier en base étant , soit la somme de ses chiffres. Alors Cette dernière expression s'obtient en écrivant sous la forme et en utilisant la formule de Legendre: . Pour calculer la plus grande puissance de 2 en divisant le coefficient binomial on écrit et en base : et . Réaliser l'addition en base 2 nécessitant trois retenues, la plus grande puissance de 2 qui divise est . Avec la deuxième expression, comme , , et , on obtient : On déduit de la première forme du théorème que est non multiple de si et seulement si la somme de deux chiffres de même rang dans les expressions en base de et ne dépasse jamais . De manière équivalente, est multiple de si et seulement si au moins un chiffre de en base p est strictement plus grand que le chiffre correspondant de . En particulier, est impair si et seulement si les expressions binaires de et ne présentent jamais deux 1 au même rang. Si est pair, possède donc forcément un chiffre binaire égal à 0, et par contraposée, si a tous ses chiffres égaux à 1, autrement dit si , tous les sont impairs.