Module libre

En algèbre, un module libre est un module M qui possède une base B, c'est-à-dire un sous-ensemble de M tel que tout élément de M s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire (finie) d'éléments de B. Une base de M est une partie B de M qui est à la fois : génératrice pour M, c'est-à-dire que tout élément de M est combinaison linéaire d'éléments de B ; libre, c'est-à-dire que pour toutes familles finies (ei)1≤i≤n d'éléments de B deux à deux distincts et (ai)1≤i≤n d'éléments de l'anneau sous-jacent telles que a1e1 + ... + anen = 0, on a : a1 = ... = an = 0. Étant donné un anneau A, l'exemple le plus immédiat de A-module libre est An. Réciproquement, tout A-module libre de base à n éléments est isomorphe à An. Tout groupe abélien admet une unique structure de Z-module. Les groupes abéliens libres sont exactement les Z-modules libres. Contrairement aux espaces vectoriels, cas particuliers des modules sur un corps, un module n'est pas toujours libre. Par exemple les Z-modules Z/2Z et Q ne sont pas libres. En revanche, tout module est le quotient d'un module libre. Un sous-module d'un module libre n'est en général pas libre. Par exemple tout idéal (à gauche) de A est un A-module (à gauche), mais il n'est libre que s'il est engendré par un seul élément. Le théorème de construction des bases partant d'une partie libre ou génératrice n'est pas valide pour les modules. Ainsi la partie non libre {2,3} engendre Z en tant que Z-module (car elle engendre 1 par 3 - 2 = 1). En revanche, ni le singleton {2} ni {3} n'engendrent Z seuls. De même la partie libre {2} ne peut pas se compléter en une base de Z. Si (M) est une famille de modules libres sur A, alors leur somme directe ⊕ M est libre sur A. Supposons que M et N sont des modules libres sur A. Leur produit tensoriel M ⊗ N est libre. L'ensemble HomA(M, N) des applications A-linéaires, qui possède une structure naturelle de A-module, est libre. En particulier, le dual HomA(M, A) est libre. Si C est une A-algèbre, alors M ⊗ C est libre sur C.