Théorème de Bolzano-Weierstrass

En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass. Un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X. Cet énoncé peut se décomposer en : Deux scholies qui garantissent le « seulement si » : Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence : Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes : L'énoncé proprement dit, le « si » : Tout espace métrique X séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que toute suite dans X admet une sous-suite de Cauchy ou, ce qui est équivalent : pour tout r > 0, X est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r. Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité : puisque X est précompact, il est séparable donc à base dénombrable donc de Lindelöf, c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert de X admet un sous-recouvrement dénombrable . Puis, en utilisant à nouveau la compacité séquentielle, a un sous-recouvrement fini (sinon, on pourrait choisir, pour tout n, un point , et la suite n'aurait pas de valeur d'adhérence). Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le fait que pour tout recouvrement ouvert d'un espace métrique séquentiellement compact X, il existe au moins un nombre de Lebesgue, c'est-à-dire un réel r > 0 tel que toute boule ouverte de X de rayon r soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement. Formellement : Soit alors X un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact.