Méthode des moments (statistiques)

La méthode des moments est un outil d'estimation intuitif qui date du début des statistiques. Elle consiste à estimer les paramètres recherchés en égalisant certains moments théoriques (qui dépendent de ces paramètres) avec leurs contreparties empiriques. L'égalisation se justifie par la loi des grands nombres qui implique que l'on peut "approcher" une espérance mathématique par une moyenne empirique. On est donc amené à résoudre un système d'équations. On suppose que l'échantillon X1,..., Xn est un échantillon iid (identiquement et indépendamment distribué) selon une famille de lois paramétriques, paramétrée par θ. Toute fonction des données de l'échantillon est donc une fonction F(θ). C'est particulièrement le cas des moments de la famille, si ceux-ci existent. On sélectionne alors s moments , qui définissent un vecteur s×1. Il existe donc une fonction G telle que . L'équivalent empirique du vecteur est le vecteur composé des s moments d'échantillon, noté . Cela signifie que l'on remplace le i-ème moment théorique, à savoir , par la quantité : L'estimateur de θ par la méthode des moments, noté , consiste à résoudre l'équation vectorielle : Supposons que sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi Gamma avec pour densité avec la fonction indicatrice de l'ensemble . On cherche à estimer le vecteur des paramètres . On détermine d'abord les moments théoriques. Le premier moment, l'espérance, est donné par et le second moment, l'espérance du carré de la variable, est On exprime ensuite la relation entre les paramètres et les moments théoriques : la résolution donne : Une fois cette relation établie, la méthode des moments consiste à utiliser les moments empiriques, en l'occurrence pour notre exemple les deux premiers, et : que l'on pose égaux aux moments théoriques : La résolution en et fournit alors : Dans certains cas, la méthode des moments n'est pas capable d'atteindre la borne de Cramér-Rao : l'estimation est donc dépassée par l'estimation par maximum de vraisemblance qui atteint cette borne asymptotiquement.