Contraction tensorielle

En algèbre multilinéaire, la contraction est un procédé de calcul sur les tenseurs faisant intervenir la dualité. En coordonnées elle se représente de façon très simple en utilisant les notations d'Einstein et consiste à faire une somme sur un indice muet. Il est possible de contracter un tenseur unique de rang p en un tenseur de rang p-2, par exemple en calculant la trace d'une matrice. Il est possible également de contracter deux tenseurs, ce qui généralise la notion de produit matriciel. L'exemple le plus simple de contraction est le crochet de dualité. Si E est un espace vectoriel sur (ou n'importe quel corps K) et si E* est l'espace dual, alors la contraction est l'application bilinéaire donnée par En composantes, une telle contraction s'écrit ce qui, selon les conventions de sommation d'Einstein, est un raccourci pour la somme dont le résultat est un scalaire. La forme bilinéaire est appelée le tenseur de Kronecker et est noté , où est l'espace des tenseurs mixtes (une fois covariant et une fois contravariant). Ainsi . Dans une base de base duale (voir Vecteur contravariant, covariant et covecteur), la matrice de est la matrice identité où les sont les symboles de Kronecker : et si . Autrement dit . Et on retrouve bien . L'introduction du tenseur de Kronecker suffit à assurer le caractère intrinsèque de la contraction. Pour un simple produit tensoriel d'ordre (m, n), c'est-dire de m vecteurs avec n formes linéaires, on peut contracter n'importe quel vecteur avec n'importe quelle forme linéaire : En composantes, si et , cette contraction s'écrit : et donne un tenseur d'ordre . Cette définition est compatible avec les règles de calcul du produit tensoriel et s'étend par linéarité à un tenseur T quelconque (combinaison linéaire finie de produits tensoriels simples comme S). Le calcul pratique en composantes s'exécute en donnant les mêmes valeurs aux deux indices à contracter puis en sommant, tout en gardant les autres indices libres.