Cercle circonscrit

En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle qui passe par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible ou parfois de polygone cyclique. Les sommets sont alors cocycliques, c'est-à-dire situés sur un même cercle. Si le polygone n'est pas aplati, ce cercle est unique et son centre est le point de concours des médiatrices des côtés. Un polygone n'a pas nécessairement de cercle circonscrit, mais les triangles, les rectangles et les polygones réguliers sont tous inscriptibles. droite|upright=2|vignette|Cercles circonscrits à des triangles. Cercle circonscrit à un triangle Tout triangle non aplati est inscriptible. Rayon du cercle On considère un triangle non plat ABC, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante : a = BC et α, l'angle formé par [AB] et [AC] ; b = AC et β, l’angle formé par [BA] et [BC] ; c = BA et γ, l’angle formé par [CA] et [CB]. R est le rayon du cercle circonscrit, S l'aire du triangle ABC. Alors, d'après la loi des sinus, on a : Ce qui permet de déterminer le rayon du cercle circonscrit : Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a la particularité d'admettre pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle. Le centre du cercle circonscrit se trouve donc au milieu de l'hypoténuse. Son rayon vaut : Tout triangle inscrit dans un cercle et dont le plus long côté est un diamètre de ce cercle est un triangle rectangle, d'après le théorème de Thalès sur le cercle. Remarque : avec ces notations, une équation barycentrique du cercle circonscrit à ce triangle est Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) en A, B, C forment un triangle T1T2T3 dit tangentiel de ABC. centré Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine. Quadrilatère inscriptible vignette|Figure du théorème de Ptolémée.