Moyenne

En mathématiques, la moyenne est un outil de calcul permettant de résumer une liste de valeurs numériques en un seul nombre réel, indépendamment de l’ordre dans lequel la liste est donnée. Par défaut, il s’agit de la moyenne arithmétique, qui se calcule comme la somme des termes de la liste, divisée par le nombre de termes. D’autres moyennes peuvent être plus adaptées selon les contextes. La moyenne est un des premiers indicateurs statistiques pour une série de nombres. Lorsque ces nombres représentent une quantité partagée entre des individus, la moyenne exprime la valeur qu’aurait chacun si le partage était équitable. La notion de moyenne s’étend aux fonctions avec la valeur moyenne, en géométrie classique avec le barycentre et en théorie des probabilités avec l’espérance d’une variable aléatoire. La notion de moyenne est historiquement reliée à celle de valeur intermédiaire, appelée aussi médiété. Étant donnés deux nombres a et b, comment choisir une valeur c pour que a soit à c ce que c soit à b ? La réponse diffère selon l’opération choisie pour aller d’un nombre à l’autre. Par exemple, pour aller de 2 à 18, on peut ajouter deux fois 8, avec une étape en 10, ou multiplier deux fois par 3, avec une étape en 6. Le premier cas décrit une moyenne arithmétique, qui s’obtient par la fraction . Le second cas est une moyenne géométrique, qui s’obtient avec la racine carrée . Les identités remarquables usuelles permettent de montrer rapidement que la moyenne géométrique de deux nombres positifs est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique. Une autre manière de définir ces moyennes est de cumuler les nombres choisis puis de chercher comment on peut obtenir le même résultat en cumulant plusieurs fois la même valeur. Tout dépend alors de la procédure de cumul. Avec une addition, on trouve 2+18=20, qu’on aurait pu obtenir en posant 10+10=20. Avec une multiplication, on trouve 2×18=36, qu’on aurait pu obtenir avec 6×6=36. D’autres procédures de cumul sur deux nombres a et b permettent de définir la moyenne harmonique et la moyenne quadratique .