En mathématiques, et plus précisément en analyse, les sommes de Riemann sont des sommes finies approchant des intégrales. En pratique, elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe de fonctions ou des longueurs d'arcs, ou inversement, de donner une valeur à des suites de sommes. Elles peuvent également être utilisées pour définir la notion d'intégration. Leur nom vient du mathématicien allemand Bernhard Riemann. L'idée directrice derrière la construction des sommes revient à approcher la courbe par une fonction constante par morceaux, avec des valeurs choisies de sorte à approcher au mieux la fonction originelle, puis à additionner les aires des rectangles ainsi formés, et enfin réduire la largeur de ces rectangles. C'est la mise en application de l'intégrale de Riemann. Soit une fonction définie en tout point du segment [a , b]. On se donne une subdivision marquée σ = (a = x < x < x < ... < x = b ; t ∈ [x, x] pour i = 1, ... , n). La somme de Riemann de f sur [a , b] liée à σ est définie par : Si le pas de la subdivision σ tend vers zéro, alors la somme de Riemann générale converge vers . C'est d'ailleurs la définition originale par Riemann de son intégrale. Si, au lieu de demander que les sommes de Riemann convergent vers une limite L lorsque le pas est majoré par un nombre δ qui tend vers zéro, on demande que les sommes de Riemann puissent être rendues arbitrairement proches d'une valeur L lorsque x –x ≤ δ(t), t ∈ [x, x], avec δ une fonction strictement positive, on arrive au concept de l'intégrale de Kurzweil-Henstock. C'est une généralisation qui permet d'intégrer plus de fonctions, mais qui donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann. Cas particuliers Certains choix de t sont plus répandus : pour t = x pour tout i, on parle de méthode des rectangles à gauche pour t = x pour tout i, on parle de méthode des rectangles à droite pour t = 1/2(x + x) pour tout i, on parle de méthode du point médian pour f(t) = sup {f(t), t ∈ [x, x]} pour tout i, on parle de somme de Riemann supérieure ou somme de Darboux supérieure pour f(t) = inf {f(t), t ∈ [x, x]} pour tout i, on parle de somme de Riemann inférieure ou somme de Darboux inférieure Ces deux derniers cas constituent la base de l'intégrale de Darboux.