Théorème de l'image ouverte

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l'image ouverte affirme que les fonctions holomorphes non constantes sont ouvertes. Soit U un ouvert connexe du plan complexe C et f : U → C une fonction holomorphe non constante ; alors f est une application ouverte, c'est-à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de U vers des ouverts de C. Nous voulons montrer que tout point de f(U) est intérieur, autrement dit est contenu dans un disque inclus dans f(U). Soit un point arbitraire de f(U) (avec z dans U). U étant ouvert, il existe d > 0 tel que B, le disque fermé de centre z et de rayon d, soit inclus dans U. f étant non constante sur U et U étant connexe, f est non constante sur B. La fonction est analytique non constante, et admet z comme racine ; d'après le principe des zéros isolés, nous pouvons donc choisir d pour que g n'ait pas d'autres racines dans B. Soit alors e le minimum de |g(z)| pour z sur le cercle frontière de B, et soit D le disque de centre w et de rayon e. D'après le théorème de Rouché, la fonction g(z) = f(z) – w a le même nombre de racines (comptées avec multiplicités) dans B que f(z) – w pour tout w à une distance strictement inférieure à e de w. Ainsi, pour chaque w dans D, il existe au moins un z dans B tel que f(z) = w. Le disque D est donc contenu dans f(B), sous-ensemble de f(U) ; w est donc un point intérieur de f(U). Il est également possible de démontrer ce théorème sans théorie de l'intégration, à partir du théorème du point fixe de Brouwer, ou plus simplement encore à partir du théorème du point fixe de Banach/Picard. Ce théorème est un exemple des importantes différences entre les applications holomorphes et les fonctions R-différentiables de C vers C : la fonction de variable complexe z ↦ z est R-différentiable et de classe C, mais n'est clairement pas ouverte. Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R puisque son image est l'intervalle fermé [0, +∞[. De même, il n'y a pas d'équivalent pour les fonctions de variable réelle.