Rêve du première année

droite|vignette| Une illustration du rêve du première année en deux dimensions. Chaque côté du carré a une longueur de X + Y. L'aire du carré est la somme de l'aire de la région jaune (= X 2 ), de l'aire de la région verte (= Y 2 ) et de l'aire des deux régions blanches (= 2 × X × Y). Le nom de rêve du première année (comprendre « de l'étudiant de première année d'université » ; en anglais freshman's dream) est parfois donné à l'équation généralement erronée (x + y)n = xn + yn, où n est un nombre réel (généralement un entier positif supérieur à 1). Les élèves débutants commettent généralement cette erreur en calculant la puissance d'une somme de nombres réels, en supposant à tort que les puissances se distribuent sur les sommes. Lorsque n = 2, il est facile de voir pourquoi c'est incorrect : (x + y)2 peut être correctement calculé comme x2 + 2xy + y2 en utilisant la distributivité. Pour des valeurs entières positives plus grandes de n, le résultat correct est donné par le formule du binôme de Newton. Le nom de « rêve du première année » fait également parfois référence au théorème qui dit que, pour un nombre premier p, si x et y sont membres d'un anneau commutatif de caractéristique p, alors (x + y)p = xp + yp. Dans ce type d'arithmétique plus exotique, l'« erreur » donne en fait le résultat correct, puisque p divise tous les coefficients binomiaux en dehors du premier et du dernier, rendant tous les termes intermédiaires égaux à zéro. L'identité est en fait vraie dans le contexte de la géométrie tropicale, où la multiplication est remplacée par l'addition et l'addition par le minimum. mais . n'est généralement pas égal à . Par exemple, , qui n'est pas égal à . Dans cet exemple, l'erreur est commise avec l'exposant Lorsque p est un nombre premier et que x et y sont membres d'un anneau commutatif de caractéristique p, alors . Ceci peut être vu en examinant les facteurs premiers des coefficients binomiaux : le ne coefficient binomial est Le numérateur est la factorielle de p, qui est divisible par p.