Méthode saute-mouton

alt=Un magnifique schéma que l'on peut trouver en anglais sur voit bien pourquoi l'algorithme s'appelle saut de grenouille En mathématiques, la méthode saute-mouton ou leap-frog est une méthode pour la résolution numérique des équations différentielles de la forme ou, de manière équivalente, de la forme en particulier dans le cas d'un système dynamique de la mécanique classique. La méthode est connue sous différents noms dans différentes disciplines. En particulier, elle est semblable à la méthode de Verlet avec la vitesse, mais elle en diffère par un calcul de la vitesse et de la position à un décalage d'un demi-pas, d'où son nom de saut de grenouille. La méthode saute-mouton est une méthode du deuxième ordre, contrairement à la méthode d'Euler qui est du premier ordre, mais nécessite pourtant le même nombre d'évaluations par pas. Contrairement à la méthode d'Euler, le schéma saute-mouton est stable pour un mouvement oscillatoire, tant que le pas de temps t est constant, et pour . Dans le schéma saute-mouton, les relations de récurrence sur la position et la vitesse sont : où x est la position à l'étape i, où v est la vitesse (c'est aussi la dérivée première de x à l'étape i), où a est l'accélération (c'est aussi la dérivée de la vitesse) et est la durée de chaque pas de temps. Ces équations peuvent être exprimées dans une forme qui donne de la vitesse au pas entier suivant : Cependant, même dans cette forme où les valeurs ont été "synchronisées", c'est-à-dire que l'on obtient leur valeur au même instant, le pas de temps t doit être constant pour maintenir la stabilité. Il y a deux avantages principaux à la méthode saute-mouton lorsqu'elle est appliquée à des problèmes de mécanique. Le premier est la réversibilité temporelle du schéma saute-mouton. On peut l'intégrer en avant n étapes, puis inverser le sens de l'intégration et de travailler à reculons sur n pas pour arriver à la position de départ. La deuxième force de ce schéma numérique est qu'il conserve l'énergie mécanique des systèmes dynamiques (saute-mouton connaît à la fois la position et la vitesse du point).