Théorème de Riemann-Lebesgue

En analyse, le théorème de Riemann-Lebesgue, parfois aussi appelé lemme de Riemann-Lebesgue (ou encore lemme intégral de Riemann-Lebesgue), est un résultat de théorie de Fourier. Il apparaît sous deux formes différentes selon que l'on s'intéresse à la théorie de Fourier pour les fonctions périodiques (théorie des séries de Fourier) ou à celle concernant les fonctions définies sur R (transformée de Fourier) ; dans les deux cas, il assure que le résultat d'une transformation de Fourier appliquée à une fonction intégrable est une fonction qui tend vers zéro à l'infini. Il peut être généralisé aux groupes abéliens localement compacts. Soit une fonction intégrable sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou complexes. Alors Ce théorème peut être appliqué pour reconnaître les transformations de la théorie de Fourier. dans le cas particulier où est le segment [0,2π], l'énoncé peut être spécialisé ainsi Quitte à « périodiser » la fonction, cette version indique que les coefficients de Fourier cn(f) d'une fonction localement intégrable périodique tendent vers 0 lorsque n tend vers plus ou moins l'infini. C'est par exemple le cas pour une fonction continue par morceaux sur le segment. dans le cas particulier où est la droite réelle, le théorème affirme que la transformée de Fourier de toute fonction intégrable tend vers zéro en l'infini Soit G un groupe commutatif localement compact, Ĝ son groupe dual et une fonction sur à valeurs réelles ou complexes, intégrable pour une mesure de Haar sur . Alors la transformée de Fourier de tend vers 0 à l'infini dans Ĝ. Bernhard Riemann présente en 1854 une première version de ce théorème. Il fait alors partie d'un mémoire sur les séries trigonométriques présenté lors de sa soutenance d'habilitation à l'université de Göttingen, sous le titre « Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe » (Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonometrique). Dans ce même mémoire, Riemann définit auparavant l'intégrale qui portera son nom.